Номер 6, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 101.

Условие.

6. Упростите выражение

$\frac{b^{-1}+8}{b^{-2}-14b^{-1}+49} : \frac{b^{-2}-64}{7b^{-1}-49} - \frac{7}{b^{-1}-8}$

Решение.

Для упрощения данного выражения введем замену переменной. Пусть $x = b^{-1}$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ \frac{x + 8}{x^2 - 14x + 49} : \frac{x^2 - 64}{7x - 49} - \frac{7}{x - 8} $

Теперь будем упрощать это выражение по действиям.

1. Сначала выполним деление. Для этого разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях дробей:

• $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$ (формула квадрата разности).
• $x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$ (формула разности квадратов).
• $7x - 49 = 7(x - 7)$ (вынесение общего множителя за скобки).

Подставим полученные разложения в выражение и заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x + 8}{(x - 7)^2} : \frac{(x - 8)(x + 8)}{7(x - 7)} = \frac{x + 8}{(x - 7)^2} \cdot \frac{7(x - 7)}{(x - 8)(x + 8)} $

Сократим общие множители $(x + 8)$ и $(x - 7)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(x + 8)}}{(x - 7)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{7\cancel{(x - 7)}}{(x - 8)\cancel{(x + 8)}} = \frac{7}{(x - 7)(x - 8)} $

2. Теперь выполним вычитание, используя результат первого действия:

$ \frac{7}{(x - 7)(x - 8)} - \frac{7}{x - 8} $

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю $(x - 7)(x - 8)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(x - 7)$:

$ \frac{7}{(x - 7)(x - 8)} - \frac{7(x - 7)}{(x - 8)(x - 7)} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{7 - 7(x - 7)}{(x - 7)(x - 8)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{7 - 7x + 49}{(x - 7)(x - 8)} = \frac{56 - 7x}{(x - 7)(x - 8)} $

Вынесем в числителе общий множитель 7 за скобки:

$ \frac{7(8 - x)}{(x - 7)(x - 8)} $

Заметим, что $(8 - x) = -(x - 8)$. Подставим это в числитель, чтобы можно было сократить дробь:

$ \frac{-7(x - 8)}{(x - 7)(x - 8)} $

Сократим общий множитель $(x - 8)$:

$ \frac{-7}{x - 7} $

3. Выполним обратную замену $x = b^{-1}$:

$ \frac{-7}{b^{-1} - 7} $

Чтобы избавиться от отрицательной степени, воспользуемся определением $b^{-1} = \frac{1}{b}$:

$ \frac{-7}{\frac{1}{b} - 7} = \frac{-7}{\frac{1 - 7b}{b}} $

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$ -7 \cdot \frac{b}{1 - 7b} = \frac{-7b}{1 - 7b} $

Для более удобной записи ответа можно умножить числитель и знаменатель на -1:

$ \frac{-7b \cdot (-1)}{(1 - 7b) \cdot (-1)} = \frac{7b}{7b - 1} $

Ответ: $ \frac{7b}{7b - 1} $