Номер 2, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 2, страница 102.

Условие.

2. Известно, что число $n$ при делении на 6 даёт остаток 5. Какой остаток при делении на 6 даёт число $7n$?

Решение.

По условию, число $n$ при делении на $6$ даёт остаток $5$. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:
$n = 6k + 5$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Чтобы найти остаток от деления числа $7n$ на $6$, умножим обе части этого равенства на $7$:
$7n = 7 \cdot (6k + 5)$

Раскроем скобки в правой части выражения:
$7n = 7 \cdot 6k + 7 \cdot 5$
$7n = 42k + 35$

Теперь нам нужно найти остаток от деления выражения $42k + 35$ на $6$.
Слагаемое $42k$ делится на $6$ без остатка, поскольку $42$ кратно $6$ ($42 = 6 \cdot 7$).
Значит, остаток всего выражения будет равен остатку от деления числа $35$ на $6$.
Разделим $35$ на $6$ с остатком:
$35 = 6 \cdot 5 + 5$

Остаток от деления равен $5$.
Можно также преобразовать исходное выражение для $7n$:
$7n = 42k + 35 = 42k + 30 + 5 = 6 \cdot (7k) + 6 \cdot 5 + 5$
Вынесем общий множитель $6$ за скобку:
$7n = 6 \cdot (7k + 5) + 5$
Эта запись показывает, что при делении $7n$ на $6$ неполное частное равно $(7k + 5)$, а остаток равен $5$.

Ответ: $5$