Номер 7, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 2. Контрольные работы - номер 7, страница 102.
№7 (с. 102)
Условие. №7 (с. 102)
скриншот условия

7. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ кратно 43.
Решение. №7 (с. 102)
Для того чтобы доказать, что выражение $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ кратно 43 при всех натуральных значениях $n$, можно воспользоваться методом математической индукции или сравнениями по модулю. Метод сравнений по модулю в данном случае является более коротким и элегантным.
Докажем, что $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n \equiv 0 \pmod{43}$.
Сначала преобразуем выражение, чтобы сделать его более удобным для анализа. Вынесем из показателя степени константу:
$3 \cdot 8^{2n+1} = 3 \cdot 8 \cdot 8^{2n} = 24 \cdot (8^2)^n = 24 \cdot 64^n$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$24 \cdot 64^n + 62 \cdot 21^n$.
Теперь рассмотрим это выражение по модулю 43. Для этого найдем остатки от деления чисел 64 и 62 на 43:
$64 = 1 \cdot 43 + 21$, следовательно, $64 \equiv 21 \pmod{43}$.
$62 = 1 \cdot 43 + 19$, следовательно, $62 \equiv 19 \pmod{43}$.
Теперь мы можем подставить эти сравнения в наше выражение:
$24 \cdot 64^n + 62 \cdot 21^n \equiv 24 \cdot 21^n + 19 \cdot 21^n \pmod{43}$.
В правой части сравнения можно вынести общий множитель $21^n$ за скобки:
$(24 + 19) \cdot 21^n \pmod{43}$.
Выполним сложение в скобках:
$43 \cdot 21^n \pmod{43}$.
Поскольку число 43 делится на 43 без остатка, то $43 \equiv 0 \pmod{43}$. Следовательно, все выражение сравнимо с нулем:
$43 \cdot 21^n \equiv 0 \cdot 21^n \equiv 0 \pmod{43}$.
Таким образом, мы доказали, что значение выражения $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ всегда делится на 43 при любом натуральном значении $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 102 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.