Номер 7, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 7, страница 102.

Условие.

7. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ кратно 43.

Решение.

Для того чтобы доказать, что выражение $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ кратно 43 при всех натуральных значениях $n$, можно воспользоваться методом математической индукции или сравнениями по модулю. Метод сравнений по модулю в данном случае является более коротким и элегантным.

Докажем, что $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n \equiv 0 \pmod{43}$.

Сначала преобразуем выражение, чтобы сделать его более удобным для анализа. Вынесем из показателя степени константу:

$3 \cdot 8^{2n+1} = 3 \cdot 8 \cdot 8^{2n} = 24 \cdot (8^2)^n = 24 \cdot 64^n$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$24 \cdot 64^n + 62 \cdot 21^n$.

Теперь рассмотрим это выражение по модулю 43. Для этого найдем остатки от деления чисел 64 и 62 на 43:

$64 = 1 \cdot 43 + 21$, следовательно, $64 \equiv 21 \pmod{43}$.

$62 = 1 \cdot 43 + 19$, следовательно, $62 \equiv 19 \pmod{43}$.

Теперь мы можем подставить эти сравнения в наше выражение:

$24 \cdot 64^n + 62 \cdot 21^n \equiv 24 \cdot 21^n + 19 \cdot 21^n \pmod{43}$.

В правой части сравнения можно вынести общий множитель $21^n$ за скобки:

$(24 + 19) \cdot 21^n \pmod{43}$.

Выполним сложение в скобках:

$43 \cdot 21^n \pmod{43}$.

Поскольку число 43 делится на 43 без остатка, то $43 \equiv 0 \pmod{43}$. Следовательно, все выражение сравнимо с нулем:

$43 \cdot 21^n \equiv 0 \cdot 21^n \equiv 0 \pmod{43}$.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n$ всегда делится на 43 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано.