Номер 3, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 3, страница 103.

Условие.

3. Решите систему неравенств $\begin{cases} 2(x - 8) \le -3x + 7, \\ 5x - 8 > 8(x - 2). \end{cases}$

Решение.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство:

$2(x - 8) \le -3x + 7$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x - 16 \le -3x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$2x + 3x \le 7 + 16$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$5x \le 23$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \le \frac{23}{5}$

Или в виде десятичной дроби:

$x \le 4.6$

Решим второе неравенство:

$5x - 8 > 8(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x - 8 > 8x - 16$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - 8x > -16 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x > -8$

Разделим обе части неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

$x < \frac{-8}{-3}$

$x < \frac{8}{3}$

Найдем пересечение решений системы:

Мы получили решения для каждого из неравенств:

$x \le \frac{23}{5}$ и $x < \frac{8}{3}$

Чтобы найти общее решение, необходимо найти пересечение этих двух множеств. Сравним дроби $\frac{23}{5}$ и $\frac{8}{3}$:

$\frac{23}{5} = 4.6$

$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.67$

Так как $\frac{8}{3} < \frac{23}{5}$, то пересечением промежутков $(-\infty; \frac{23}{5}]$ и $(-\infty; \frac{8}{3})$ является промежуток $(-\infty; \frac{8}{3})$.

Следовательно, решение системы неравенств — это все числа, которые меньше $\frac{8}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{8}{3})$