Номер 6, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 6, страница 103.

Условие.

6. Решите уравнение $|x - 2| + |x + 8| = 10$

Решение.

Для решения уравнения $|x - 2| + |x + 8| = 10$ необходимо раскрыть модули. Знаки подмодульных выражений меняются в точках, где они равны нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Рассмотрим уравнение в каждом из них.

1. Интервал $x < -8$

На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому при раскрытии модулей меняем их знаки на противоположные:

$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$

$|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8$

Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + (-x - 8) = 10$

$-2x - 6 = 10$

$-2x = 16$

$x = -8$

Полученное значение $x = -8$ не удовлетворяет условию $x < -8$, поэтому на данном интервале решений нет.

2. Интервал $-8 \le x < 2$

На этом интервале выражение $x-2$ отрицательно, а выражение $x+8$ неотрицательно:

$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$

$|x + 8| = x + 8$

Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + (x + 8) = 10$

$10 = 10$

Получено верное тождество, которое не зависит от $x$. Это значит, что все значения $x$ из рассматриваемого интервала $[-8; 2)$ являются решениями уравнения.

3. Интервал $x \ge 2$

На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны, поэтому модули раскрываются без изменения знака:

$|x - 2| = x - 2$

$|x + 8| = x + 8$

Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + (x + 8) = 10$

$2x + 6 = 10$

$2x = 4$

$x = 2$

Полученное значение $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является решением.

Объединим результаты, полученные на всех интервалах. Решением является множество чисел из интервала $[-8; 2)$ и число $2$. Таким образом, общее решение — это отрезок $[-8; 2]$.

Ответ: $x \in [-8; 2]$.