Номер 5, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 5, страница 104.

Условие.

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{8}{3\sqrt{2}};$

2) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}.$

Решение.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{8}{3\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{2}$. Это действие основано на основном свойстве дроби и позволяет избавиться от корня в знаменателе, так как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

Выполним умножение:

$\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель имеют общий делитель 2:

$\frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

2) В этом случае знаменатель представляет собой разность $(\sqrt{13}-3)$. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженным для $(a-b)$ является $(a+b)$. В нашем случае сопряженным для $(\sqrt{13}-3)$ будет $(\sqrt{13}+3)$. При их перемножении используется формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt{13}+3)$:

$\frac{4}{\sqrt{13}-3} = \frac{4 \cdot (\sqrt{13}+3)}{(\sqrt{13}-3) \cdot (\sqrt{13}+3)}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{13}-3) \cdot (\sqrt{13}+3) = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$

Теперь подставим полученное значение в нашу дробь:

$\frac{4 \cdot (\sqrt{13}+3)}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4(\sqrt{13}+3)}{4} = \sqrt{13}+3$

В результате мы получили выражение, в котором знаменатель равен 1, что является рациональным числом.

Ответ: $\sqrt{13}+3$