Номер 7, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 7, страница 103.

Условие.

7. Для каждого значения параметра $b$ решите неравенство $(b+6)^2 x \ge b^2 - 36.$

Решение.

Данное неравенство $(b + 6)^2 x \ge b^2 - 36$ является линейным относительно переменной $x$. Решение зависит от коэффициента при $x$, который равен $(b + 6)^2$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $b = -6$

При $b = -6$ коэффициент при $x$ обращается в ноль. Подставим это значение в неравенство:

$( -6 + 6)^2 x \ge (-6)^2 - 36$

$0 \cdot x \ge 36 - 36$

$0 \ge 0$

Получилось верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.

Случай 2: $b \ne -6$

При $b \ne -6$ коэффициент при $x$ строго положителен, так как является квадратом ненулевого числа: $(b+6)^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $(b+6)^2$, при этом знак неравенства сохранится:

$x \ge \frac{b^2 - 36}{(b+6)^2}$

Разложим числитель дроби в правой части по формуле разности квадратов:

$x \ge \frac{(b-6)(b+6)}{(b+6)^2}$

Так как $b \ne -6$, то $b+6 \ne 0$, поэтому можно сократить дробь на $(b+6)$:

$x \ge \frac{b-6}{b+6}$

Ответ: при $b = -6$, $x \in (-\infty; +\infty)$; при $b \ne -6$, $x \in [\frac{b-6}{b+6}; +\infty)$.