Номер 2, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 2, страница 103.

Условие.

2. Найдите множество решений неравенства:

1) $9x - 8 \ge 5 (x + 2) - 3(8 - x)$;

2) $(x - 4)(x + 12) \ge (x + 4)^2 - 7$;

3) $\frac{x-3}{5} - \frac{x-9}{8} > \frac{x+4}{20}$.

Решение.

1) $9x - 8 \ge 5(x + 2) - 3(8 - x)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$9x - 8 \ge 5x + 10 - 24 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$9x - 8 \ge (5x + 3x) + (10 - 24)$

$9x - 8 \ge 8x - 14$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$9x - 8x \ge -14 + 8$

$x \ge -6$

Множество решений неравенства — это все числа, большие или равные $-6$.

Ответ: $x \in [-6; +\infty)$.

2) $(x - 4)(x + 12) \ge (x + 4)^2 - 7$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой — применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 12x - 4x - 48 \ge x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 7$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 8x - 48 \ge x^2 + 8x + 16 - 7$

$x^2 + 8x - 48 \ge x^2 + 8x + 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 8x - 48 - x^2 - 8x - 9 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (8x - 8x) + (-48 - 9) \ge 0$

$-57 \ge 0$

Полученное числовое неравенство является неверным. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

3) $\frac{x - 3}{5} - \frac{x - 9}{8} > \frac{x + 4}{20}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 8 и 20. НОК(5, 8, 20) = 40.

$40 \cdot \left(\frac{x - 3}{5} - \frac{x - 9}{8}\right) > 40 \cdot \frac{x + 4}{20}$

$\frac{40(x - 3)}{5} - \frac{40(x - 9)}{8} > \frac{40(x + 4)}{20}$

$8(x - 3) - 5(x - 9) > 2(x + 4)$

Раскроем скобки:

$8x - 24 - 5x + 45 > 2x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(8x - 5x) + (-24 + 45) > 2x + 8$

$3x + 21 > 2x + 8$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 2x > 8 - 21$

$x > -13$

Множество решений неравенства — это все числа, строго большие $-13$.

Ответ: $x \in (-13; +\infty)$.