Номер 5, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 5, страница 102.

Условие.

5. Какой остаток при делении на 8 даёт число $7^{43}$?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся методами модульной арифметики. Нам необходимо найти остаток от деления числа $7^{43}$ на 8. Это эквивалентно нахождению значения выражения $7^{43} \pmod{8}$.

Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 7, на 8. Число 7 можно представить как $8 - 1$. В терминах сравнений по модулю это записывается так: $7 \equiv -1 \pmod{8}$

Теперь воспользуемся свойством сравнений, которое гласит: если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального показателя степени $n$. Применим это свойство к нашему выражению, возведя обе части сравнения в степень 43: $7^{43} \equiv (-1)^{43} \pmod{8}$

Далее вычислим правую часть сравнения. Так как 43 — нечетное число, то $(-1)$ в нечетной степени равно $-1$: $(-1)^{43} = -1$ Таким образом, мы получаем: $7^{43} \equiv -1 \pmod{8}$

Остаток от деления должен быть неотрицательным числом в диапазоне от 0 до 7. Сравнение $x \equiv -1 \pmod{8}$ означает, что $x$ и $-1$ дают одинаковый остаток при делении на 8. Чтобы найти этот остаток, мы можем прибавить к $-1$ модуль 8: $-1 + 8 = 7$ Следовательно, $7^{43}$ дает остаток 7 при делении на 8.

Проверка другим способом: Найдем закономерность в остатках от деления степеней числа 7 на 8:
$7^1 = 7 \equiv 7 \pmod{8}$
$7^2 = 49 = 6 \cdot 8 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$
$7^3 = 7^2 \cdot 7 \equiv 1 \cdot 7 \pmod{8} \equiv 7 \pmod{8}$
$7^4 = (7^2)^2 \equiv 1^2 \pmod{8} \equiv 1 \pmod{8}$
Мы видим, что остатки циклически повторяются: 7, 1, 7, 1, ... Для нечетных степеней остаток равен 7, а для четных — 1. Поскольку в выражении $7^{43}$ показатель степени 43 является нечетным числом, остаток от деления на 8 будет равен 7.

Ответ: 7