Номер 8, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 8, страница 101.

Условие.

8. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x+8a}{x-4} = 0;$

2) $\frac{ax+4}{x-1} = a-1.$

Решение.

1)

Дано уравнение: $\frac{x+8a}{x-4}=0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} x+8a=0 \\ x-4 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = -8a$

Теперь подставим это значение во второе условие, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корень существует:

$-8a - 4 \neq 0$

$-8a \neq 4$

$a \neq -\frac{4}{8}$

$a \neq -\frac{1}{2}$

Таким образом, если $a = -\frac{1}{2}$, то корень $x=-8a$ становится равным 4, что недопустимо, так как знаменатель обращается в ноль. В этом случае уравнение не имеет решений.

Если же $a \neq -\frac{1}{2}$, то корень $x = -8a$ является решением уравнения.

Ответ: если $a = -\frac{1}{2}$, то корней нет; если $a \neq -\frac{1}{2}$, то $x = -8a$.

2)

Дано уравнение: $\frac{ax+4}{x-1}=a-1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

На ОДЗ умножим обе части уравнения на $(x-1)$:

$ax+4 = (a-1)(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$ax+4 = ax - a - x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные в правую:

$ax - ax + x = -a + 1 - 4$

$x = -a - 3$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ найденный корень $x = -a - 3$ не удовлетворяет ОДЗ, то есть равен 1.

$-a - 3 = 1$

$-a = 1 + 3$

$-a = 4$

$a = -4$

Следовательно, при $a = -4$ корень уравнения $x=1$ является посторонним, и уравнение не имеет решений.

При всех остальных значениях $a$ (то есть при $a \neq -4$) корень $x = -a - 3$ является решением исходного уравнения.

Ответ: если $a = -4$, то корней нет; если $a \neq -4$, то $x = -a - 3$.