Номер 7, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 2. Контрольные работы - номер 7, страница 101.

Условие.

7. Решите графически уравнение $ \frac{6}{x} = 5 - x. $

Решение.

Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = 5 - x$ графически, нужно построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{6}{x}$ и $y = 5 - x$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться корнями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{6}{x}$

Эта функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y = \frac{6}{x}$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

2. Построение графика функции $y = 5 - x$

Эта функция является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• При $x=0$, $y = 5 - 0 = 5$. Точка (0, 5).
• При $y=0$, $0 = 5 - x$, следовательно $x=5$. Точка (5, 0).

Проведем прямую через эти две точки.

3. Нахождение решения

Построим графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 5 - x$ в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках. Найдем по графику их координаты.

Первая точка пересечения имеет координаты (2, 3).
Вторая точка пересечения имеет координаты (3, 2).

Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Таким образом, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Выполним проверку:
Для $x=2$: левая часть $\frac{6}{2} = 3$; правая часть $5 - 2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.
Для $x=3$: левая часть $\frac{6}{3} = 2$; правая часть $5 - 3 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: 2; 3.