Номер 6, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 6, страница 100.

Условие.

6. Известно, что $16x^2 + \frac{9}{x^2} = 145$. Найдите значение выражения $4x + \frac{3}{x}$.

Решение.

Нам дано уравнение $16x^2 + \frac{9}{x^2} = 145$ и нужно найти значение выражения $4x + \frac{3}{x}$.

Заметим, что члены в данном уравнении являются квадратами членов в выражении, которое нужно найти: $16x^2 = (4x)^2$ и $\frac{9}{x^2} = (\frac{3}{x})^2$.

Это наводит на мысль использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Возведем в квадрат выражение $4x + \frac{3}{x}$:

$(4x + \frac{3}{x})^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (\frac{3}{x}) + (\frac{3}{x})^2$

Упростим средний член:

$2 \cdot (4x) \cdot (\frac{3}{x}) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{x}{x} = 24$

Теперь подставим это обратно в раскрытое выражение:

$(4x + \frac{3}{x})^2 = 16x^2 + 24 + \frac{9}{x^2}$

Сгруппируем члены, чтобы использовать данное нам в условии уравнение:

$(4x + \frac{3}{x})^2 = (16x^2 + \frac{9}{x^2}) + 24$

Мы знаем, что $16x^2 + \frac{9}{x^2} = 145$. Подставим это значение:

$(4x + \frac{3}{x})^2 = 145 + 24$

$(4x + \frac{3}{x})^2 = 169$

Чтобы найти значение $4x + \frac{3}{x}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.

$4x + \frac{3}{x} = \pm \sqrt{169}$

$4x + \frac{3}{x} = \pm 13$

Ответ: $\pm 13$.