Номер 7, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 7, страница 99.

Условие.

7. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{5n+6}{n}$;

2) $\frac{n-1}{n-6}$.

Решение.

1)

Для того чтобы значение выражения $\frac{5n+6}{n}$ было целым числом, преобразуем эту дробь. Разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{5n+6}{n} = \frac{5n}{n} + \frac{6}{n} = 5 + \frac{6}{n}$
Выражение $5 + \frac{6}{n}$ будет целым числом, если дробь $\frac{6}{n}$ будет целым числом, так как 5 уже является целым числом.
Дробь $\frac{6}{n}$ является целым числом, если ее знаменатель $n$ является делителем числителя 6.
По условию, $n$ — натуральное число. Следовательно, нам нужно найти все натуральные (положительные) делители числа 6.
Натуральными делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6.
Проверим эти значения:
При $n=1$, значение выражения равно $\frac{5(1)+6}{1} = 11$.
При $n=2$, значение выражения равно $\frac{5(2)+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
При $n=3$, значение выражения равно $\frac{5(3)+6}{3} = \frac{21}{3} = 7$.
При $n=6$, значение выражения равно $\frac{5(6)+6}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
Во всех случаях получаются целые числа.

Ответ: $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.

2)

Для того чтобы значение выражения $\frac{n-1}{n-6}$ было целым числом, преобразуем дробь, выделив в ней целую часть. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, равное знаменателю:
$n - 1 = (n - 6) + 5$
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{n-1}{n-6} = \frac{(n-6)+5}{n-6} = \frac{n-6}{n-6} + \frac{5}{n-6} = 1 + \frac{5}{n-6}$
Выражение $1 + \frac{5}{n-6}$ будет целым числом, если дробь $\frac{5}{n-6}$ будет целым числом, так как 1 уже является целым числом.
Дробь $\frac{5}{n-6}$ является целым числом, если ее знаменатель $(n-6)$ является делителем числителя 5.
Целыми делителями числа 5 являются: -5, -1, 1, 5.
Приравняем знаменатель $(n-6)$ к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $n$:
1. $n - 6 = -5 \implies n = 6 - 5 = 1$.
2. $n - 6 = -1 \implies n = 6 - 1 = 5$.
3. $n - 6 = 1 \implies n = 6 + 1 = 7$.
4. $n - 6 = 5 \implies n = 6 + 5 = 11$.
По условию, $n$ — натуральное число. Все найденные значения (1, 5, 7, 11) являются натуральными числами.

Ответ: $n \in \{1, 5, 7, 11\}$.