Номер 5, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 5, страница 99.

Условие.

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$ необходимо сначала проанализировать и упростить данное выражение.

Область определения функции
Поскольку в знаменателе находится переменная, мы должны исключить значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. $x + 3 \neq 0$ $x \neq -3$ Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — все действительные числа, кроме $x = -3$.

Упрощение функции
Рассмотрим числитель дроби: $x^2 + 6x + 9$. Это выражение является полным квадратом суммы, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$. Подставим это в исходную функцию: $y = \frac{(x+3)^2}{x+3}$ При условии, что $x \neq -3$ (из области определения), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+3)$: $y = x + 3$

Построение графика
Из упрощения следует, что график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 3$ во всех точках, за исключением точки, где $x = -3$. Графиком функции $y = x + 3$ является прямая линия. Для ее построения можно взять две любые точки. Например, если $x=0$, то $y=3$ (точка $(0,3)$), и если $x=1$, то $y=4$ (точка $(1,4)$). Точка, в которой функция не определена ($x = -3$), должна быть исключена из графика. Найдем ее ординату, подставив $x = -3$ в уравнение прямой: $y = -3 + 3 = 0$ Следовательно, точка с координатами $(-3, 0)$ является "выколотой" точкой на прямой.

Таким образом, график нашей функции — это прямая $y = x + 3$, из которой удалена одна точка.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(-3, 0)$.