Номер 4, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 100.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3 + 125}{x^2 - 12x + 36} \cdot \frac{x^2 - 36}{x^2 - 5x + 25} - \frac{11x + 66}{x - 6}$;

2) $\left(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}\right) : \frac{48a}{16 - a^2}$.

Решение.

1) Для упрощения выражения последовательно выполним действия. Сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители, используя формулы сокращенного умножения: сумму кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, квадрат разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\frac{x^3 + 125}{x^2 - 12x + 36} \cdot \frac{x^2 - 36}{x^2 - 5x + 25} - \frac{11x + 66}{x - 6} = \frac{(x+5)(x^2 - 5x + 25)}{(x-6)^2} \cdot \frac{(x-6)(x+6)}{x^2 - 5x + 25} - \frac{11(x+6)}{x - 6}$

Выполним умножение, сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x^2 - 5x + 25)$ и $(x-6)$.

$\frac{(x+5)\cancel{(x^2 - 5x + 25)}}{\cancel{(x-6)}(x-6)} \cdot \frac{\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{x^2 - 5x + 25}} - \frac{11(x+6)}{x - 6} = \frac{(x+5)(x+6)}{x-6} - \frac{11(x+6)}{x - 6}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $(x-6)$.

$\frac{(x+5)(x+6) - 11(x+6)}{x-6}$

В числителе вынесем общий множитель $(x+6)$ за скобки.

$\frac{(x+6)((x+5)-11)}{x-6} = \frac{(x+6)(x-6)}{x-6}$

Сократим дробь на $(x-6)$.

$\frac{(x+6)\cancel{(x-6)}}{\cancel{x-6}} = x+6$

Ответ: $x+6$

2) Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-4)(a+4)$.

$(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}) : \frac{48a}{16-a^2} = \frac{(a+4)(a+4) - (a-4)(a-4)}{(a-4)(a+4)} : \frac{48a}{16-a^2} = \frac{(a+4)^2 - (a-4)^2}{(a-4)(a+4)} : \frac{48a}{16-a^2}$

Числитель первой дроби является разностью квадратов. Упростим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$(a+4)^2 - (a-4)^2 = ((a+4)-(a-4))((a+4)+(a-4)) = (a+4-a+4)(a+4+a-4) = (8)(2a) = 16a$

Подставим полученное выражение в числитель. Деление заменим на умножение, перевернув вторую дробь, и разложим ее знаменатель $16-a^2$ на множители как $(4-a)(4+a) = -(a-4)(a+4)$.

$\frac{16a}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{16-a^2}{48a} = \frac{16a}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{-(a-4)(a+4)}{48a}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(a-4)$, $(a+4)$, $a$, а также числовые коэффициенты $16$ и $48$ (так как $48=3 \cdot 16$).

$\frac{\cancel{16}\cancel{a}}{\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{-\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}}{3 \cdot \cancel{16}\cancel{a}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$