Номер 1, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 2. Контрольные работы - номер 1, страница 100.

Условие.

1. Выполните действия:

1) $ -\frac{54a^6b^9}{c^{12}} \cdot \left(-\frac{c^{20}}{12a^4b^{15}}\right); $

2) $ \frac{98m^8}{p^{17}} : (49m^5p^2); $

3) $ \frac{x^2 - 49}{3x - 24} : \frac{5x + 35}{x - 8}; $

4) $ \frac{5y + 20}{y^2 - 16y + 64} \cdot \frac{6y - 48}{y + 4}. $

Решение.

1) Чтобы выполнить умножение дробей, перемножим их числители и знаменатели. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$ -\frac{54a^6b^9}{c^{12}} \cdot \left(-\frac{c^{20}}{12a^4b^{15}}\right) = \frac{54a^6b^9 \cdot c^{20}}{c^{12} \cdot 12a^4b^{15}} $
Теперь сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.
Для коэффициентов: $ \frac{54}{12} = \frac{9 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{9}{2} $.
Для переменных:
$ \frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2 $
$ \frac{b^9}{b^{15}} = b^{9-15} = b^{-6} = \frac{1}{b^6} $
$ \frac{c^{20}}{c^{12}} = c^{20-12} = c^8 $
Собираем все части вместе:
$ \frac{9}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^6} \cdot c^8 = \frac{9a^2c^8}{2b^6} $
Ответ: $ \frac{9a^2c^8}{2b^6} $

2) Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение (перевернутую дробь).
$ \frac{98m^8}{p^{17}} : (49m^5p^2) = \frac{98m^8}{p^{17}} \cdot \frac{1}{49m^5p^2} = \frac{98m^8}{49m^5p^{17}p^2} $
Сократим коэффициенты: $ \frac{98}{49} = 2 $.
Сократим переменные, используя свойства степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ и $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ \frac{m^8}{m^5} = m^{8-5} = m^3 $
В знаменателе: $ p^{17} \cdot p^2 = p^{17+2} = p^{19} $.
Объединяем полученные результаты:
$ \frac{2m^3}{p^{19}} $
Ответ: $ \frac{2m^3}{p^{19}} $

3) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Для этого сначала разложим выражения в числителях и знаменателях на множители.
$ x^2 - 49 = (x-7)(x+7) $ (по формуле разности квадратов).
$ 3x - 24 = 3(x-8) $ (вынесение общего множителя за скобки).
$ 5x + 35 = 5(x+7) $ (вынесение общего множителя за скобки).
Теперь подставим разложенные выражения в исходное и выполним умножение:
$ \frac{x^2 - 49}{3x - 24} : \frac{5x + 35}{x - 8} = \frac{(x-7)(x+7)}{3(x-8)} \cdot \frac{x-8}{5(x+7)} $
Сократим одинаковые множители $ (x+7) $ в числителе и знаменателе, а также $ (x-8) $:
$ \frac{(x-7)\cancel{(x+7)}}{3\cancel{(x-8)}} \cdot \frac{\cancel{x-8}}{5\cancel{(x+7)}} = \frac{x-7}{3 \cdot 5} = \frac{x-7}{15} $
Ответ: $ \frac{x-7}{15} $

4) Чтобы перемножить дроби, разложим их числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.
$ 5y + 20 = 5(y+4) $ (вынесение общего множителя).
$ y^2 - 16y + 64 = (y-8)^2 $ (по формуле квадрата разности).
$ 6y - 48 = 6(y-8) $ (вынесение общего множителя).
Подставим полученные выражения и выполним умножение:
$ \frac{5y + 20}{y^2 - 16y + 64} \cdot \frac{6y - 48}{y + 4} = \frac{5(y+4)}{(y-8)^2} \cdot \frac{6(y-8)}{y + 4} $
Сократим одинаковые множители $ (y+4) $ и один из множителей $ (y-8) $:
$ \frac{5\cancel{(y+4)}}{(y-8)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{6\cancel{(y-8)}}{\cancel{y+4}} = \frac{5 \cdot 6}{y-8} = \frac{30}{y-8} $
Ответ: $ \frac{30}{y-8} $