Номер 2, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 99.

Условие.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{24a^{12}c^6}{36a^5c^{11}}$;

2) $\frac{49 - n^2}{n^2 - 14n + 49}$;

3) $\frac{x^3 + 64}{x^2 - 7xy + 4x - 28y}$.

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{24a^{12}c^6}{36a^5c^{11}}$, нужно сократить числовые коэффициенты и степени переменных по отдельности.
Сократим коэффициенты: $\frac{24}{36}$. Наибольший общий делитель для 24 и 36 это 12. $\frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{2}{3}$.
Сократим степени переменной $a$: по свойству степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, получаем $\frac{a^{12}}{a^5} = a^{12-5} = a^7$.
Сократим степени переменной $c$: по свойству степеней $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$ при $n>m$, получаем $\frac{c^6}{c^{11}} = \frac{1}{c^{11-6}} = \frac{1}{c^5}$.
Теперь соберем все части вместе:
$\frac{24a^{12}c^6}{36a^5c^{11}} = \frac{2}{3} \cdot a^7 \cdot \frac{1}{c^5} = \frac{2a^7}{3c^5}$.
Ответ: $\frac{2a^7}{3c^5}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{49 - n^2}{n^2 - 14n + 49}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $49 - n^2$ является разностью квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$49 - n^2 = 7^2 - n^2 = (7 - n)(7 + n)$.
Знаменатель $n^2 - 14n + 49$ является полным квадратом по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
$n^2 - 14n + 49 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 7 + 7^2 = (n - 7)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(7 - n)(7 + n)}{(n - 7)^2} = \frac{(7 - n)(7 + n)}{(n - 7)(n - 7)}$.
Заметим, что $(7 - n) = -(n - 7)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(n - 7)(n + 7)}{(n - 7)(n - 7)}$.
Сократим общий множитель $(n - 7)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $n \neq 7$):
$\frac{-(n + 7)}{n - 7} = -\frac{n + 7}{n - 7}$.
Ответ: $-\frac{n + 7}{n - 7}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{x^3 + 64}{x^2 - 7xy + 4x - 28y}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^3 + 64$ является суммой кубов по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.
Знаменатель $x^2 - 7xy + 4x - 28y$ разложим на множители методом группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемыми:
$(x^2 - 7xy) + (4x - 28y)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x(x - 7y) + 4(x - 7y)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x - 7y)$: $(x - 7y)(x + 4)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{(x - 7y)(x + 4)}$.
Сократим общий множитель $(x + 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq -4$):
$\frac{x^2 - 4x + 16}{x - 7y}$.
Ответ: $\frac{x^2 - 4x + 16}{x - 7y}$