Номер 7, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 2. Контрольные работы - номер 7, страница 98.

Условие.

7. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{3k}$, где $k \in \mathbb{N}$, счётно.

Решение.

Для того чтобы доказать, что множество счётно, необходимо установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между элементами этого множества и элементами множества натуральных чисел $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $.

Обозначим заданное множество как $ A = \{ x \mid x = \frac{1}{3k}, k \in \mathbb{N} \} $. Элементами этого множества являются числа $ \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12}, ... $.

Рассмотрим функцию $ f: \mathbb{N} \to A $, которая каждому натуральному числу $ k $ ставит в соответствие элемент из множества $ A $ по правилу: $ f(k) = \frac{1}{3k} $

Докажем, что эта функция является биекцией, то есть она инъективна и сюръективна.

1. Инъективность (взаимно-однозначное отображение).
Функция является инъективной, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Проверим это свойство. Пусть $ k_1, k_2 \in \mathbb{N} $ и $ f(k_1) = f(k_2) $.
$ \frac{1}{3k_1} = \frac{1}{3k_2} $
Из этого равенства следует, что $ 3k_1 = 3k_2 $, что, в свою очередь, означает $ k_1 = k_2 $.
Таким образом, если образы элементов совпадают, то и сами элементы (прообразы) совпадают. Это доказывает инъективность функции $f$.

2. Сюръективность (отображение "на").
Функция является сюръективной, если для любого элемента $ y $ из области значений $ A $ найдется такой элемент $ k $ из области определения $ \mathbb{N} $, что $ f(k) = y $.
Возьмем произвольный элемент $ y \in A $. По определению множества $ A $, он имеет вид $ y = \frac{1}{3k_0} $ для некоторого натурального числа $ k_0 \in \mathbb{N} $.
Мы видим, что для этого элемента $ y $ существует прообраз в множестве $ \mathbb{N} $, а именно число $ k_0 $, поскольку по определению нашей функции $ f(k_0) = \frac{1}{3k_0} = y $.
Так как для любого элемента из $ A $ нашелся прообраз в $ \mathbb{N} $, функция $f$ является сюръективной.

Поскольку функция $ f: \mathbb{N} \to A $ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Существование биекции между множеством $ A $ и множеством натуральных чисел $ \mathbb{N} $ по определению означает, что множество $ A $ является счётным.

Ответ: Множество чисел вида $ \frac{1}{3k} $, где $ k \in \mathbb{N} $, счётно, что и требовалось доказать.