Номер 6, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 99.

Условие.

6. Известно, что $ \frac{x + 4y}{y} = 12 $. Найдите значение выражения $ \frac{x^2 + 16y^2}{x^2 - 3xy} $.

Решение.

Начнем с преобразования исходного уравнения $\frac{x + 4y}{y} = 12$.

Поскольку $y$ находится в знаменателе, можно сделать вывод, что $y \ne 0$. Разделим числитель дроби на знаменатель почленно:

$\frac{x}{y} + \frac{4y}{y} = 12$

$\frac{x}{y} + 4 = 12$

Выразим отсюда отношение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = 12 - 4 = 8$

Теперь мы можем выразить $x$ через $y$:

$x = 8y$

Далее подставим это выражение для $x$ в дробь, значение которой нам нужно найти: $\frac{x^2 + 16y^2}{x^2 - 3xy}$.

$\frac{(8y)^2 + 16y^2}{(8y)^2 - 3(8y)y}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель: $(8y)^2 + 16y^2 = 64y^2 + 16y^2 = 80y^2$.

Знаменатель: $(8y)^2 - 3(8y)y = 64y^2 - 24y^2 = 40y^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{80y^2}{40y^2}$

Так как $y \ne 0$, мы можем сократить дробь на $y^2$:

$\frac{80}{40} = 2$

Ответ: 2