Номер 8, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 2. Контрольные работы - номер 8, страница 98.

Условие.

8. Множество B содержит 27 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

Решение.

Пусть дано множество $B$, содержащее $n=27$ элементов. Нам необходимо сравнить количество его подмножеств с чётным числом элементов и количество подмножеств с нечётным числом элементов.

Количество способов выбрать подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k$.

Пусть $E$ — это общее количество подмножеств с чётным числом элементов. В это число входит и пустое множество, так как оно содержит 0 элементов, а 0 является чётным числом. Таким образом, $E$ равно сумме числа подмножеств размером 0, 2, 4, ..., 26:
$E = C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}$

Пусть $O$ — это общее количество подмножеств с нечётным числом элементов. Тогда $O$ равно сумме числа подмножеств размером 1, 3, 5, ..., 27:
$O = C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27}$

Для сравнения $E$ и $O$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Подставим в эту формулу $n=27$, $a=1$ и $b=-1$:
$(1 - 1)^{27} = C_{27}^0 - C_{27}^1 + C_{27}^2 - C_{27}^3 + \dots - C_{27}^{27}$

Левая часть уравнения равна $0^{27} = 0$. Перегруппируем члены в правой части, собрав вместе слагаемые с положительными и отрицательными знаками:
$0 = (C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}) - (C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27})$

Выражение в первых скобках в точности равно $E$, а во вторых — $O$. Таким образом, мы получаем равенство:
$0 = E - O$
Отсюда следует, что $E = O$.

Это означает, что для любого непустого множества (в данном случае, с 27 элементами) количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов и с нечётным количеством элементов одинаково.