Номер 4, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Тема. Множества и операции над ними. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 98.

Условие.

4. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) $ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{1\}; $

2) $ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}; $

3) $ \{1, 5\} \cap \emptyset = \emptyset; $

4) $ \{1, 5\} \cup \emptyset = \{1, 5\}; $

5) $ \{1, 5\} \cap \emptyset = \{1, 5\}; $

6) $ \{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\}? $

Решение.

Проанализируем каждое утверждение по отдельности, чтобы определить, какие из них являются верными.

1) $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{1\}$

Операция пересечения множеств (обозначается символом $\cap$) находит все элементы, которые являются общими для обоих множеств. В данном случае мы ищем общие элементы множеств $\{1, 5\}$ и $\{5\}$. Единственный общий элемент - это 5. Следовательно, правильный результат операции $\{1, 5\} \cap \{5\}$ есть $\{5\}$. Утверждение, что результат равен $\{1\}$, является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

2) $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$

Как было показано в предыдущем пункте, пересечением множеств $\{1, 5\}$ и $\{5\}$ является множество, состоящее из их общих элементов. Общим элементом является 5. Таким образом, равенство $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$ истинно.

Ответ: утверждение верно.

3) $\{1, 5\} \cap \emptyset = \emptyset$

Пересечение любого множества с пустым множеством ($\emptyset$), которое по определению не содержит никаких элементов, всегда даёт в результате пустое множество. Это происходит потому, что у них не может быть общих элементов. Для любого множества $A$ справедливо тождество $A \cap \emptyset = \emptyset$.

Ответ: утверждение верно.

4) $\{1, 5\} \cup \emptyset = \{1, 5\}$

Операция объединения множеств (обозначается символом $\cup$) создает новое множество, которое включает в себя все элементы из обоих исходных множеств. При объединении множества $\{1, 5\}$ с пустым множеством ($\emptyset$) мы получаем множество, содержащее все элементы из $\{1, 5\}$ и все элементы из $\emptyset$. Так как в пустом множестве нет элементов, которые можно было бы добавить, результат остаётся $\{1, 5\}$. Для любого множества $A$ справедливо тождество $A \cup \emptyset = A$.

Ответ: утверждение верно.

5) $\{1, 5\} \cap \emptyset = \{1, 5\}$

Как было рассмотрено в пункте 3, пересечение любого множества с пустым множеством равно пустому множеству. Утверждение, что результатом является $\{1, 5\}$, неверно.

Ответ: утверждение неверно.

6) $\{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\}$

Операция разности множеств (обозначается символом $\setminus$) возвращает множество, содержащее все элементы первого множества, которые не принадлежат второму множеству. В данном случае мы должны взять все элементы из $\{1, 5\}$ и удалить те из них, которые есть в $\{1\}$. Таким образом, мы удаляем элемент 1 из множества $\{1, 5\}$. В результате остаётся множество $\{5\}$. Следовательно, $\{1, 5\} \setminus \{1\} = \{5\}$. Утверждение, что результат равен $\{1\}$, неверно.

Ответ: утверждение неверно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2, 3 и 4.