Номер 6, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 6, страница 97.

Условие.

6. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 - 43n$ кратно 6.

Решение.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $n^3 - 43n$ кратно 6 при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Преобразуем исходное выражение, представив его в более удобном виде. Для этого воспользуемся известным свойством: произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 6. Таким произведением является выражение $n^3 - n$.

$n^3 - 43n = n^3 - n - 42n = (n^3 - n) - 42n$

Теперь проанализируем каждое слагаемое полученной разности.

1. Первое слагаемое: $n^3 - n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $(n-1)n(n+1)$. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное число (которое делится на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \times 3 = 6$.

2. Второе слагаемое: $42n$.

Число 42 можно представить как $6 \times 7$. Таким образом, выражение $42n$ очевидно делится на 6 при любом натуральном $n$.

В результате мы представили исходное выражение $n^3 - 43n$ в виде разности двух выражений: $(n^3 - n)$ и $42n$. Поскольку и уменьшаемое $(n^3 - n)$, и вычитаемое $42n$ делятся на 6, то и их разность будет делиться на 6. Это доказывает утверждение для всех натуральных значений $n$.

Ответ: Утверждение доказано.