Номер 6, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 97.
№6 (с. 97)
Условие. №6 (с. 97)
скриншот условия

6. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 - 43n$ кратно 6.
Решение. №6 (с. 97)
Для того чтобы доказать, что значение выражения $n^3 - 43n$ кратно 6 при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.
Преобразуем исходное выражение, представив его в более удобном виде. Для этого воспользуемся известным свойством: произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 6. Таким произведением является выражение $n^3 - n$.
$n^3 - 43n = n^3 - n - 42n = (n^3 - n) - 42n$
Теперь проанализируем каждое слагаемое полученной разности.
1. Первое слагаемое: $n^3 - n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$
Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $(n-1)n(n+1)$. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное число (которое делится на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \times 3 = 6$.
2. Второе слагаемое: $42n$.
Число 42 можно представить как $6 \times 7$. Таким образом, выражение $42n$ очевидно делится на 6 при любом натуральном $n$.
В результате мы представили исходное выражение $n^3 - 43n$ в виде разности двух выражений: $(n^3 - n)$ и $42n$. Поскольку и уменьшаемое $(n^3 - n)$, и вычитаемое $42n$ делятся на 6, то и их разность будет делиться на 6. Это доказывает утверждение для всех натуральных значений $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 97 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 97), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.