Номер 3, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 97.

Условие.

3. Докажите тождество

$ \left(\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25}\right) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = -\frac{2}{a + 5} $.

Решение.

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть уравнения и покажем, что она равна правой части.

Левая часть: $ \left(\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25}\right) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} $.

1. Преобразование выражения в скобках.

Сначала разложим на множители знаменатели дробей в скобках, используя формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов: $ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $
• Квадрат разности: $ a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 $

Теперь выражение в скобках можно записать так:

$ \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} - \frac{a - 8}{(a - 5)^2} $

2. Приведение к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $ (a - 5)^2(a + 5) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{a(a - 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} - \frac{(a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{a(a - 5) - (a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} $

3. Упрощение числителя.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ a(a - 5) - (a - 8)(a + 5) = (a^2 - 5a) - (a^2 + 5a - 8a - 40) = a^2 - 5a - (a^2 - 3a - 40) = a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40 = -2a + 40 $

Вынесем общий множитель -2 за скобки:

$ -2a + 40 = -2(a - 20) $

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \frac{-2(a - 20)}{(a - 5)^2(a + 5)} $

4. Выполнение деления.

Вернемся к исходному выражению и выполним деление:

$ \frac{-2(a - 20)}{(a - 5)^2(a + 5)} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:

$ \frac{-2(a - 20)}{(a - 5)^2(a + 5)} \cdot \frac{(a - 5)^2}{a - 20} $

5. Сокращение дроби.

Сократим общие множители $ (a - 20) $ и $ (a - 5)^2 $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a \neq 20 $ и $ a \neq 5 $):

$ \frac{-2 \cdot \cancel{(a - 20)}}{\cancel{(a - 5)^2} \cdot (a + 5)} \cdot \frac{\cancel{(a - 5)^2}}{\cancel{a - 20}} = \frac{-2}{a + 5} = -\frac{2}{a + 5} $

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равной $ -\frac{2}{a + 5} $, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть равна правой: $ -\frac{2}{a + 5} = -\frac{2}{a + 5} $.