Номер 2, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 96.

Условие.

2. Решите уравнение
$\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0.$

Решение.

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, знаменатели всех дробей не должны быть равны нулю. Разложим знаменатели на множители для нахождения недопустимых значений переменной $x$.

Первый знаменатель: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$.

Второй знаменатель: $x^2 - 6x = x(x-6)$.

Третий знаменатель: $x^2 + 6x = x(x+6)$.

Из разложения видно, что знаменатели обращаются в ноль при $x=6$, $x=-6$ и $x=0$. Таким образом, Область Допустимых Значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$, или, проще говоря, $x \neq -6$, $x \neq 0$, $x \neq 6$.

2. Приведение к общему знаменателю и упрощение

Наименьшим общим знаменателем для всех дробей является выражение $x(x-6)(x+6)$. Приведем все дроби уравнения к этому знаменателю:

$$ \frac{6 \cdot x}{x(x-6)(x+6)} - \frac{3 \cdot (x+6)}{x(x-6)(x+6)} + \frac{(x-12) \cdot (x-6)}{x(x-6)(x+6)} = 0 $$

Теперь можно объединить дроби и работать только с числителем, приравняв его к нулю, так как мы уже учли, что знаменатель не равен нулю:

$$ 6x - 3(x+6) + (x-12)(x-6) = 0 $$

3. Решение полученного уравнения

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ 6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 + (6-3-6-12)x + (-18+72) = 0 $$

$$ x^2 - 15x + 54 = 0 $$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 15, а их произведение равно 54. Легко подобрать корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

В качестве альтернативы можно использовать формулу для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 225 - 216 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{15+3}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{15-3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ

Мы нашли два потенциальных корня: 9 и 6. Теперь их необходимо проверить на соответствие Области Допустимых Значений ($x \neq -6, x \neq 0, x \neq 6$).

Корень $x=9$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $9 \neq -6$, $9 \neq 0$ и $9 \neq 6$.

Корень $x=6$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, так как при $x=6$ знаменатели двух дробей в исходном уравнении обращаются в ноль. Следовательно, $x=6$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 9