Номер 1, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов - номер 1, страница 96.

Условие.

1. Сократите дробь $\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 5a + 6}$.

Решение.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Оба являются квадратными трехчленами, которые можно разложить на множители по формуле $Ax^2+Bx+C = A(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $Ax^2+Bx+C=0$.

Сначала разложим на множители числитель: $3a^2 - 5a - 2$.
Приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения $3a^2 - 5a - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Найдем корни:
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, числитель можно представить в виде: $3(a - 2)(a - (-\frac{1}{3})) = 3(a - 2)(a + \frac{1}{3}) = (a - 2)(3a + 1)$.

Теперь разложим на множители знаменатель: $a^2 - 5a + 6$.
Приравняем его к нулю и найдем корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
сумма корней $a_1 + a_2 = 5$;
произведение корней $a_1 \cdot a_2 = 6$.
Отсюда следует, что корни равны $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.
Следовательно, знаменатель можно представить в виде: $(a - 2)(a - 3)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 5a + 6} = \frac{(a - 2)(3a + 1)}{(a - 2)(a - 3)}$.
Сокращаем на общий множитель $(a - 2)$, при условии, что $a \neq 2$.
$\frac{\cancel{(a - 2)}(3a + 1)}{\cancel{(a - 2)}(a - 3)} = \frac{3a + 1}{a - 3}$.

Ответ: $\frac{3a + 1}{a - 3}$.