Номер 9, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 9, страница 94.

Условие.

9. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$(x-7)\sqrt{x+28a}=0.$

Решение.

Рассмотрим уравнение $(x-7)\sqrt{x+28a} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности выражения под корнем: $x + 28a \ge 0$, откуда следует $x \ge -28a$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Уравнение равносильно совокупности уравнений $x-7=0$ и $\sqrt{x+28a}=0$ при условии выполнения ОДЗ.

Решим каждое уравнение из совокупности:

1) Из уравнения $x - 7 = 0$ получаем корень $x = 7$. Этот корень является решением исходного уравнения, если удовлетворяет ОДЗ: $7 \ge -28a$, что равносильно $a \ge -1/4$.

2) Из уравнения $\sqrt{x+28a} = 0$ получаем $x + 28a = 0$, откуда $x = -28a$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ, так как неравенство $-28a \ge -28a$ верно для любого $a$.

Теперь объединим результаты и представим решение для каждого значения параметра $a$. Критической точкой является $a = -1/4$, в которой корни могут совпадать ($7 = -28(-1/4)$).

При $a < -1/4$

В этом случае условие $a \ge -1/4$ для корня $x=7$ не выполняется, поэтому он не является решением. Единственным решением уравнения является $x=-28a$.

Ответ: $x = -28a$.

При $a = -1/4$

В этом случае условие $a \ge -1/4$ выполняется, значит $x=7$ является корнем. Второй корень $x=-28a$ при данном значении $a$ принимает значение $x = -28(-1/4) = 7$. Корни совпадают, и уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 7$.

При $a > -1/4$

В этом случае условие $a \ge -1/4$ выполняется, значит $x=7$ является корнем. Второй корень $x=-28a$ также является решением. Поскольку $a \ne -1/4$, эти два корня различны.

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -28a$.