Номер 8, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 8, страница 94.

Условие.

8. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{8-x} + \frac{x-4}{2-\sqrt{x}}$

Решение.

Область определения функции (ОДЗ) – это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для данной функции $y = \sqrt{8 - x} + \frac{x - 4}{2 - \sqrt{x}}$ необходимо учесть следующие ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. В функции есть два корня: $\sqrt{8-x}$ и $\sqrt{x}$.
Из первого корня следует условие:
$8 - x \ge 0 \implies -x \ge -8 \implies x \le 8$.
Из второго корня следует условие:
$x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$2 - \sqrt{x} \ne 0$
$\sqrt{x} \ne 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x \ne 4$.

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы все эти условия выполнялись одновременно. Составим систему ограничений:
$\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases}$

Из первых двух неравенств следует, что $x$ принадлежит отрезку $[0, 8]$. Третье условие исключает из этого отрезка точку $x=4$. Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух промежутков: от 0 включительно до 4, и от 4 до 8 включительно.

Ответ: $x \in [0, 4) \cup (4, 8]$.