Номер 2, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета - номер 2, страница 95.

Условие.

2. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ — $d$.

Согласно условию задачи, диагональ на 8 см больше одной стороны и на 4 см больше другой. Выразим стороны через диагональ:
$d = a + 8 \implies a = d - 8$
$d = b + 4 \implies b = d - 4$

В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю прямоугольника, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали) равен сумме квадратов катетов (сторон):
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим в это уравнение выражения для сторон $a$ и $b$:
$(d - 8)^2 + (d - 4)^2 = d^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 8d + 16) = d^2$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:
$2d^2 - 24d + 80 = d^2$
$d^2 - 24d + 80 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$
$\sqrt{D} = 16$

Теперь найдем возможные значения для $d$:
$d_1 = \frac{-(-24) + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$d_2 = \frac{-(-24) - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим оба значения. Длины сторон прямоугольника ($a$ и $b$) должны быть положительными.
1. Если $d = 20$ см:
$a = 20 - 8 = 12$ см
$b = 20 - 4 = 16$ см
Оба значения положительны, следовательно, это решение нам подходит.

2. Если $d = 4$ см:
$a = 4 - 8 = -4$ см
Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому это значение не является решением задачи.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.
Ответ: 12 см и 16 см.