Номер 6, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 6, страница 94.

Условие.

6. Внесите множитель под знак корня:

1) $ab\sqrt{-a}$, если $b > 0$;

2) $(3 - x)\sqrt{\frac{1}{x^2 - 6x + 9}}$

Решение.

1)

Дано выражение $ab\sqrt{-a}$ при условии $b > 0$.

Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что означает $a \le 0$.

Теперь определим знак множителя $ab$, который мы вносим под знак корня. Так как по условию $b > 0$ и мы установили, что $a \le 0$, то произведение $ab$ будет неположительным, то есть $ab \le 0$.

Правило внесения множителя $c$ под знак квадратного корня зависит от знака $c$:

• Если $c \ge 0$, то $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$.
• Если $c < 0$, то $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2d}$.

Поскольку в нашем случае множитель $ab \le 0$, мы используем второе правило:

$ab\sqrt{-a} = -\sqrt{(ab)^2(-a)}$

Теперь выполним преобразования под корнем:

$-\sqrt{(ab)^2(-a)} = -\sqrt{a^2b^2(-a)} = -\sqrt{-a^3b^2}$

Ответ: $-\sqrt{-a^3b^2}$.

2)

Дано выражение $(3 - x)\sqrt{\frac{1}{x^2 - 6x + 9}}$.

В первую очередь, упростим выражение в знаменателе под корнем. Заметим, что $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $(3 - x)\sqrt{\frac{1}{(x - 3)^2}}$.

Выражение определено, когда подкоренное выражение существует и знаменатель не равен нулю, то есть $(x - 3)^2 > 0$, что означает $x \neq 3$.

Для внесения множителя $(3 - x)$ под знак корня необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака этого множителя.

Случай 1: Множитель $(3 - x)$ положителен.

$3 - x > 0 \implies x < 3$.

Если множитель положителен, мы вносим его под корень, возводя в квадрат:

$(3 - x)\sqrt{\frac{1}{(x - 3)^2}} = \sqrt{(3 - x)^2 \cdot \frac{1}{(x - 3)^2}}$

Так как $(3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2$, то:

$\sqrt{\frac{(x - 3)^2}{(x - 3)^2}} = \sqrt{1}$

Случай 2: Множитель $(3 - x)$ отрицателен.

$3 - x < 0 \implies x > 3$.

Если множитель отрицателен, то при внесении его под корень, перед корнем ставится знак "минус":

$(3 - x)\sqrt{\frac{1}{(x - 3)^2}} = -\sqrt{(3 - x)^2 \cdot \frac{1}{(x - 3)^2}}$

Упрощая аналогично первому случаю:

$-\sqrt{\frac{(x - 3)^2}{(x - 3)^2}} = -\sqrt{1}$

Таким образом, результат зависит от значения $x$.

Ответ: $\sqrt{1}$ при $x < 3$; $-\sqrt{1}$ при $x > 3$.