Номер 4, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 95.

Условие.

4. Составьте уравнение, корни которого на 3 больше корней уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$.

Решение.

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Использование теоремы Виета

1. Рассмотрим исходное уравнение $x^2 - 5x + 3 = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3$.

2. Пусть корни нового, искомого уравнения – $y_1$ и $y_2$. По условию задачи, они на 3 больше корней исходного уравнения, следовательно:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

3. Найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить новое уравнение, используя обратную теорему Виета.
Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$.
Подставляем ранее найденное значение $x_1 + x_2 = 5$:
$y_1 + y_2 = 5 + 6 = 11$.
Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$.
Подставляем известные значения $x_1x_2 = 3$ и $x_1 + x_2 = 5$:
$y_1 \cdot y_2 = 3 + 3(5) + 9 = 3 + 15 + 9 = 27$.

4. Теперь составим новое приведенное квадратное уравнение вида $y^2 + py + q = 0$, где $-p = y_1 + y_2$ и $q = y_1 \cdot y_2$.
Коэффициент $p = -(y_1 + y_2) = -11$.
Коэффициент $q = y_1 \cdot y_2 = 27$.
Таким образом, искомое уравнение: $y^2 - 11y + 27 = 0$. Для удобства можно использовать переменную $x$.
Ответ: $x^2 - 11x + 27 = 0$.

Способ 2: Метод замены переменной

1. Пусть $x$ – корень исходного уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$.
Пусть $y$ – корень нового, искомого уравнения.

2. По условию, корень нового уравнения на 3 больше корня исходного, то есть $y = x + 3$.
Отсюда можно выразить $x$ через $y$: $x = y - 3$.

3. Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$, мы можем подставить в него выражение $y - 3$ вместо $x$. Полученное уравнение относительно $y$ и будет искомым.
$(y - 3)^2 - 5(y - 3) + 3 = 0$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение в стандартном виде:
$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - (5y - 15) + 3 = 0$
$(y^2 - 6y + 9) - 5y + 15 + 3 = 0$
$y^2 - 6y - 5y + 9 + 15 + 3 = 0$
$y^2 - 11y + 27 = 0$.

Заменив переменную $y$ на привычную $x$, получаем искомое уравнение.
Ответ: $x^2 - 11x + 27 = 0$.