Номер 5, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета - номер 5, страница 95.

Условие.

5. Решите уравнение

$|x^2 + 3x - 5| = 2x + 1$

Решение.

Данное уравнение $|x^2 + 3x - 5| = 2x + 1$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна (так как модуль — неотрицательная величина), а подмодульное выражение равно либо самой правой части, либо числу, ей противоположному.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 5 = 2x + 1 \\ x^2 + 3x - 5 = -(2x + 1) \end{array} \right. \end{cases}$

1. Сначала решим неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:

$2x + 1 \ge 0$

$2x \ge -1$

$x \ge -0.5$

Любые найденные корни уравнений должны удовлетворять этому условию.

2. Теперь решим первое уравнение из совокупности:

$x^2 + 3x - 5 = 2x + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + (3x - 2x) + (-5 - 1) = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ ($x \ge -0.5$):

• Корень $x_1 = 2$: $2 \ge -0.5$ (верно).
• Корень $x_2 = -3$: $-3 \ge -0.5$ (неверно). Этот корень является посторонним.

3. Решим второе уравнение из совокупности:

$x^2 + 3x - 5 = -(2x + 1)$

$x^2 + 3x - 5 = -2x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + (3x + 2x) + (-5 + 1) = 0$

$x^2 + 5x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Получаем два корня: $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$ и $x_4 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -0.5$):

• Для корня $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$: оценим значение $\sqrt{41}$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, значит $6 < \sqrt{41} < 7$. Тогда числитель $-5 + \sqrt{41}$ находится в интервале от $(-5 + 6)$ до $(-5 + 7)$, то есть от $1$ до $2$. Сам корень $x_3$ находится в интервале от $\frac{1}{2}$ до $\frac{2}{2}$, то есть от $0.5$ до $1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge -0.5$.
• Для корня $x_4 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$: так как $\sqrt{41} > 6$, то числитель $-5 - \sqrt{41} < -5 - 6 = -11$. Тогда сам корень $x_4 < \frac{-11}{2} = -5.5$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge -0.5$, следовательно, это посторонний корень.

Объединяя все подходящие корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $2; \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$.