Номер 5, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 95.
№5 (с. 95)
Условие. №5 (с. 95)
скриншот условия

5. Решите уравнение
$|x^2 + 3x - 5| = 2x + 1$
Решение. №5 (с. 95)
Данное уравнение $|x^2 + 3x - 5| = 2x + 1$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна (так как модуль — неотрицательная величина), а подмодульное выражение равно либо самой правой части, либо числу, ей противоположному.
Запишем это в виде системы:
$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 5 = 2x + 1 \\ x^2 + 3x - 5 = -(2x + 1) \end{array} \right. \end{cases}$
1. Сначала решим неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
$2x + 1 \ge 0$
$2x \ge -1$
$x \ge -0.5$
Любые найденные корни уравнений должны удовлетворять этому условию.
2. Теперь решим первое уравнение из совокупности:
$x^2 + 3x - 5 = 2x + 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + (3x - 2x) + (-5 - 1) = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Это уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию ОДЗ ($x \ge -0.5$):
- Корень $x_1 = 2$: $2 \ge -0.5$ (верно).
- Корень $x_2 = -3$: $-3 \ge -0.5$ (неверно). Этот корень является посторонним.
3. Решим второе уравнение из совокупности:
$x^2 + 3x - 5 = -(2x + 1)$
$x^2 + 3x - 5 = -2x - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + (3x + 2x) + (-5 + 1) = 0$
$x^2 + 5x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$
Получаем два корня: $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$ и $x_4 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -0.5$):
- Для корня $x_3 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$: оценим значение $\sqrt{41}$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, значит $6 < \sqrt{41} < 7$. Тогда числитель $-5 + \sqrt{41}$ находится в интервале от $(-5 + 6)$ до $(-5 + 7)$, то есть от $1$ до $2$. Сам корень $x_3$ находится в интервале от $\frac{1}{2}$ до $\frac{2}{2}$, то есть от $0.5$ до $1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge -0.5$.
- Для корня $x_4 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$: так как $\sqrt{41} > 6$, то числитель $-5 - \sqrt{41} < -5 - 6 = -11$. Тогда сам корень $x_4 < \frac{-11}{2} = -5.5$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge -0.5$, следовательно, это посторонний корень.
Объединяя все подходящие корни, получаем окончательное решение.
Ответ: $2; \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 95 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 95), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.