Номер 4, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 96.
№4 (с. 96)
Условие. №4 (с. 96)
скриншот условия

4. Решите уравнение:
1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0$;
2) $(x-1)(x-5)(x+3)(x+7) = 135.$
Решение. №4 (с. 96)
1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 - 24y - 25 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$
Поскольку $D = 676 = 26^2 > 0$, уравнение имеет два корня:
$y_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$y_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 \ge 0$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем.
Выполним обратную замену для $y_1 = 25$:
$x^2 = 25$
Из этого уравнения находим два корня для $x$:
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Ответ: $\pm 5$.
2) $(x-1)(x-5)(x+3)(x+7) = 135$
Для решения этого уравнения сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении получились выражения с одинаковой частью, содержащей $x$. Заметим, что суммы свободных членов в парах $(x-1)$ и $(x+3)$, а также $(x-5)$ и $(x+7)$ равны:
$-1 + 3 = 2$
$-5 + 7 = 2$
Перегруппируем множители в уравнении:
$((x-1)(x+3)) \cdot ((x-5)(x+7)) = 135$
Раскроем скобки в каждой паре:
$(x^2 + 3x - x - 3) \cdot (x^2 + 7x - 5x - 35) = 135$
$(x^2 + 2x - 3) \cdot (x^2 + 2x - 35) = 135$
Теперь введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:
$(t - 3)(t - 35) = 135$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 35t - 3t + 105 = 135$
$t^2 - 38t + 105 - 135 = 0$
$t^2 - 38t - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1444 + 120 = 1564$
Найдем корни для $t$:
$t_{1,2} = \frac{-(-38) \pm \sqrt{1564}}{2} = \frac{38 \pm \sqrt{4 \cdot 391}}{2} = \frac{38 \pm 2\sqrt{391}}{2} = 19 \pm \sqrt{391}$
Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.
Случай 1: $t = 19 + \sqrt{391}$
$x^2 + 2x = 19 + \sqrt{391}$
$x^2 + 2x - (19 + \sqrt{391}) = 0$
Решим это квадратное уравнение для $x$ по формуле корней:
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-(19 + \sqrt{391}))}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76 + 4\sqrt{391}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 + 4\sqrt{391}}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(20 + \sqrt{391})}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{20 + \sqrt{391}}}{2} = -1 \pm \sqrt{20 + \sqrt{391}}$
Случай 2: $t = 19 - \sqrt{391}$
$x^2 + 2x = 19 - \sqrt{391}$
$x^2 + 2x - (19 - \sqrt{391}) = 0$
Решим это квадратное уравнение для $x$:
$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-(19 - \sqrt{391}))}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76 - 4\sqrt{391}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 - 4\sqrt{391}}}{2}$
$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(20 - \sqrt{391})}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{20 - \sqrt{391}}}{2} = -1 \pm \sqrt{20 - \sqrt{391}}$
Все четыре корня являются действительными, так как подкоренное выражение $20 - \sqrt{391}$ положительно ($20^2=400$, $(\sqrt{391})^2=391$, $400>391$).
Ответ: $-1 - \sqrt{20 - \sqrt{391}}$; $-1 + \sqrt{20 - \sqrt{391}}$; $-1 - \sqrt{20 + \sqrt{391}}$; $-1 + \sqrt{20 + \sqrt{391}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 96 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 96), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.