Номер 4, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов - номер 4, страница 96.

Условие.

4. Решите уравнение:

1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0$;

2) $(x-1)(x-5)(x+3)(x+7) = 135.$

Решение.

1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 24y - 25 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $D = 676 = 26^2 > 0$, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 \ge 0$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $y_1 = 25$:

$x^2 = 25$

Из этого уравнения находим два корня для $x$:

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Ответ: $\pm 5$.

2) $(x-1)(x-5)(x+3)(x+7) = 135$

Для решения этого уравнения сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении получились выражения с одинаковой частью, содержащей $x$. Заметим, что суммы свободных членов в парах $(x-1)$ и $(x+3)$, а также $(x-5)$ и $(x+7)$ равны:

$-1 + 3 = 2$

$-5 + 7 = 2$

Перегруппируем множители в уравнении:

$((x-1)(x+3)) \cdot ((x-5)(x+7)) = 135$

Раскроем скобки в каждой паре:

$(x^2 + 3x - x - 3) \cdot (x^2 + 7x - 5x - 35) = 135$

$(x^2 + 2x - 3) \cdot (x^2 + 2x - 35) = 135$

Теперь введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:

$(t - 3)(t - 35) = 135$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 35t - 3t + 105 = 135$

$t^2 - 38t + 105 - 135 = 0$

$t^2 - 38t - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1444 + 120 = 1564$

Найдем корни для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-(-38) \pm \sqrt{1564}}{2} = \frac{38 \pm \sqrt{4 \cdot 391}}{2} = \frac{38 \pm 2\sqrt{391}}{2} = 19 \pm \sqrt{391}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 19 + \sqrt{391}$

$x^2 + 2x = 19 + \sqrt{391}$

$x^2 + 2x - (19 + \sqrt{391}) = 0$

Решим это квадратное уравнение для $x$ по формуле корней:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-(19 + \sqrt{391}))}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76 + 4\sqrt{391}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 + 4\sqrt{391}}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(20 + \sqrt{391})}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{20 + \sqrt{391}}}{2} = -1 \pm \sqrt{20 + \sqrt{391}}$

Случай 2: $t = 19 - \sqrt{391}$

$x^2 + 2x = 19 - \sqrt{391}$

$x^2 + 2x - (19 - \sqrt{391}) = 0$

Решим это квадратное уравнение для $x$:

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-(19 - \sqrt{391}))}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76 - 4\sqrt{391}}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 - 4\sqrt{391}}}{2}$

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(20 - \sqrt{391})}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{20 - \sqrt{391}}}{2} = -1 \pm \sqrt{20 - \sqrt{391}}$

Все четыре корня являются действительными, так как подкоренное выражение $20 - \sqrt{391}$ положительно ($20^2=400$, $(\sqrt{391})^2=391$, $400>391$).

Ответ: $-1 - \sqrt{20 - \sqrt{391}}$; $-1 + \sqrt{20 - \sqrt{391}}$; $-1 - \sqrt{20 + \sqrt{391}}$; $-1 + \sqrt{20 + \sqrt{391}}$.