Номер 3, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 96.

Условие.

3. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость пассажирского поезда. Согласно условию, скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, следовательно, его скорость составляет $(x - 20)$ км/ч. Расстояние для обоих поездов равно 120 км.

Время, которое тратит на путь пассажирский поезд, равно $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{120}{x}$ ч.

Время, которое тратит на путь товарный поезд, равно $t_т = \frac{S}{v_т} = \frac{120}{x - 20}$ ч.

По условию, пассажирский поезд проходит расстояние на 1 час быстрее, чем товарный. Это означает, что время товарного поезда на 1 час больше, чем время пассажирского. Составим уравнение:

$t_т - t_п = 1$

$\frac{120}{x - 20} - \frac{120}{x} = 1$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x - 20)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 20$.

$120x - 120(x - 20) = x(x - 20)$

$120x - 120x + 2400 = x^2 - 20x$

$2400 = x^2 - 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 100}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 100}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда:

$x - 20 = 60 - 20 = 40$ км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч.