Номер 4, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 4, страница 97.

Условие.

4. Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй — 144 детали. Первый рабочий изготавливал в час на 4 детали больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?

Решение.

Пусть $v_2$ (деталей в час) – производительность второго рабочего. Тогда, согласно условию, производительность первого рабочего составляет $v_1 = v_2 + 4$ (деталей в час).

Время, которое потребовалось первому рабочему для изготовления 120 деталей, составляет $t_1 = \frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2 + 4}$ часов.

Время, которое потребовалось второму рабочему для изготовления 144 деталей, составляет $t_2 = \frac{144}{v_2}$ часов.

По условию задачи, первый рабочий работал на 3 часа меньше второго, что можно записать в виде уравнения:$$ t_2 - t_1 = 3 $$Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:$$ \frac{144}{v_2} - \frac{120}{v_2 + 4} = 3 $$

Для решения этого уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 + 4)$, при этом $v_2 > 0$:$$ \frac{144(v_2 + 4) - 120v_2}{v_2(v_2 + 4)} = 3 $$$$ \frac{144v_2 + 576 - 120v_2}{v_2^2 + 4v_2} = 3 $$$$ \frac{24v_2 + 576}{v_2^2 + 4v_2} = 3 $$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $v_2^2 + 4v_2$:$$ 24v_2 + 576 = 3(v_2^2 + 4v_2) $$$$ 24v_2 + 576 = 3v_2^2 + 12v_2 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$$ 3v_2^2 + 12v_2 - 24v_2 - 576 = 0 $$$$ 3v_2^2 - 12v_2 - 576 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 3 для его упрощения:$$ v_2^2 - 4v_2 - 192 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 $$Найдем корни уравнения, используя формулу $v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 $$$$ v_{2,1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$$$ v_{2,2} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Поскольку производительность (количество деталей в час) не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -12$ не имеет физического смысла и отбрасывается. Следовательно, производительность второго рабочего составляет 16 деталей в час.

Теперь найдем производительность первого рабочего:$$ v_1 = v_2 + 4 = 16 + 4 = 20 $$Производительность первого рабочего составляет 20 деталей в час.

Проверка:
Время работы первого рабочего: $t_1 = \frac{120 \text{ деталей}}{20 \text{ дет./ч}} = 6$ часов.
Время работы второго рабочего: $t_2 = \frac{144 \text{ детали}}{16 \text{ дет./ч}} = 9$ часов.
Разница во времени: $t_2 - t_1 = 9 - 6 = 3$ часа.
Разница в производительности: $v_1 - v_2 = 20 - 16 = 4$ детали в час.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: первый рабочий изготавливал 20 деталей в час, а второй — 16 деталей в час.