Номер 6, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 96.

Условие.

6. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\frac{x^2 - (4a - 3)x - 12a}{x^2 - 1} = 0.$

Решение.

Данное уравнение $\frac{x^2 - (4a - 3)x - 12a}{x^2 - 1} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (4a - 3)x - 12a = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases} $

Из второго условия системы получаем область допустимых значений: $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Решим первое уравнение системы $x^2 - (4a - 3)x - 12a = 0$. Это квадратное уравнение относительно $x$.

Найдем его дискриминант:

$D = (-(4a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12a) = (4a - 3)^2 + 48a = 16a^2 - 24a + 9 + 48a = 16a^2 + 24a + 9 = (4a + 3)^2.$

Поскольку $D = (4a + 3)^2 \geq 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{4a - 3 \pm \sqrt{(4a + 3)^2}}{2} = \frac{4a - 3 \pm (4a + 3)}{2}.$

Отсюда получаем два корня числителя:

$x_1 = \frac{4a - 3 + 4a + 3}{2} = \frac{8a}{2} = 4a.$

$x_2 = \frac{4a - 3 - (4a + 3)}{2} = \frac{-6}{2} = -3.$

Теперь нужно проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни удовлетворяют условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Корень $x_2 = -3$ всегда является решением исходного уравнения, так как $-3 \neq 1$ и $-3 \neq -1$.

Рассмотрим корень $x_1 = 4a$. Необходимо исключить значения $a$, при которых этот корень становится недопустимым или совпадает с другим корнем.

1. Корень $x_1$ недопустим, если $4a=1$ или $4a=-1$.

- Если $4a = 1$, то $a = \frac{1}{4}$. В этом случае корень $x_1=1$ отбрасывается, и единственным решением остается $x=-3$.

- Если $4a = -1$, то $a = -\frac{1}{4}$. В этом случае корень $x_1=-1$ отбрасывается, и единственным решением остается $x=-3$.

2. Корни совпадают, если $x_1=x_2$.

- Если $4a = -3$, то $a = -\frac{3}{4}$. В этом случае числитель имеет единственный корень $x=-3$. Этот корень допустим, поэтому при $a = -\frac{3}{4}$ решением является $x=-3$.

3. Во всех остальных случаях, то есть при $a \notin \{-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\}$, уравнение имеет два различных допустимых корня: $x_1 = 4a$ и $x_2 = -3$.

Ответ:

Если $a \in \{-\frac{3}{4}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\}$, то $x = -3$.

Если $a \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{4}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\}$, то $x_1 = -3$, $x_2 = 4a$.