Номер 6, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 95.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a - 1)x + a^2 + 3a = 0$ равно 4?

Решение.

Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ произведение корней $x_1$ и $x_2$ определяется по теореме Виета как $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$.

В данном уравнении $x^2 + (a - 1)x + a^2 + 3a = 0$ коэффициенты равны:$A = 1$$B = a - 1$$C = a^2 + 3a$

Следовательно, произведение корней равно:$x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2 + 3a}{1} = a^2 + 3a$

По условию задачи, это произведение равно 4. Составим уравнение относительно параметра $a$:$a^2 + 3a = 4$$a^2 + 3a - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = -4$.

Чтобы у исходного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант ($D$) должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$. Вычислим дискриминант исходного уравнения:$D = B^2 - 4AC = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 3a)$$D = (a^2 - 2a + 1) - (4a^2 + 12a)$$D = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 - 12a$$D = -3a^2 - 14a + 1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию $D \ge 0$.

1. При $a = 1$:$D = -3(1)^2 - 14(1) + 1 = -3 - 14 + 1 = -16$Поскольку $D < 0$, при $a = 1$ уравнение не имеет действительных корней. Значит, это значение параметра не является решением задачи.

2. При $a = -4$:$D = -3(-4)^2 - 14(-4) + 1 = -3(16) + 56 + 1 = -48 + 56 + 1 = 9$Поскольку $D > 0$, при $a = -4$ уравнение имеет два различных действительных корня, произведение которых равно 4. Это значение параметра удовлетворяет условию.

Ответ: $a = -4$