Номер 1, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета - номер 1, страница 95.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $7x^2 - 21 = 0$;

2) $5x^2 + 9x = 0$;

3) $x^2 + x - 42 = 0$;

4) $7x^2 - 2x - 9 = 0$;

5) $2x^2 - 8x + 11 = 0$;

6) $16x^2 - 8x + 1 = 0$.

Решение.

1) $7x^2 - 21 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (21) в правую часть уравнения и поменяем его знак:
$7x^2 = 21$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 7:
$x^2 = \frac{21}{7}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$. Уравнение имеет два корня:
$x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$.

2) $5x^2 + 9x = 0$
Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $5x + 9 = 0$
Первый корень $x_1 = 0$.
Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:
$5x = -9$
$x_2 = -\frac{9}{5} = -1.8$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1.8$.

3) $x^2 + x - 42 = 0$
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=1, b=1, c=-42$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 13}{2 \cdot 1}$
$x_1 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Ответ: $x_1 = -7, x_2 = 6$.

4) $7x^2 - 2x - 9 = 0$
Это полное квадратное уравнение, где $a=7, b=-2, c=-9$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 4 + 252 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 16}{2 \cdot 7} = \frac{2 \pm 16}{14}$
$x_1 = \frac{2 - 16}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
$x_2 = \frac{2 + 16}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{9}{7}$.

5) $2x^2 - 8x + 11 = 0$
Это полное квадратное уравнение, где $a=2, b=-8, c=11$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

6) $16x^2 - 8x + 1 = 0$
Это полное квадратное уравнение, где $a=16, b=-8, c=1$.
Левая часть уравнения является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x - 1)^2$
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(4x - 1)^2 = 0$
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Также можно решить через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.