Номер 7, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 7, страница 94.

Условие.

7. Упростите выражение

$(\frac{\sqrt{b}}{b-9} - \frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9}) \cdot \frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{b}+3}$

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и сложение.

1. Упростим выражение в скобках: $\left( \frac{\sqrt{b}}{b-9} - \frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9} \right)$.

Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$ и квадрат разности $(a-c)^2=a^2-2ac+c^2$.

• $b-9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)$
• $b-6\sqrt{b}+9 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{b} + 3^2 = (\sqrt{b}-3)^2$

Теперь подставим разложенные знаменатели обратно в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)$:

$\frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)} - \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-3) - \sqrt{b}(\sqrt{b}+3)}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{b-3\sqrt{b} - (b+3\sqrt{b})}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} = \frac{b-3\sqrt{b} - b - 3\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} = \frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)}$

2. Выполним умножение.

Результат первого действия умножим на дробь $\frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}}$.

Заметим, что $(3-\sqrt{b})^2 = (-1 \cdot (\sqrt{b}-3))^2 = (\sqrt{b}-3)^2$.

$\frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} \cdot \frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}} = \frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}}$

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(\sqrt{b}-3)^2$ и $\sqrt{b}$.

$\frac{-6}{ (\sqrt{b}+3)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-6}{2(\sqrt{b}+3)} = \frac{-3}{\sqrt{b}+3}$

3. Выполним сложение.

К результату второго действия прибавим последнюю дробь $\frac{3}{\sqrt{b}+3}$.

$\frac{-3}{\sqrt{b}+3} + \frac{3}{\sqrt{b}+3} = \frac{-3+3}{\sqrt{b}+3} = \frac{0}{\sqrt{b}+3} = 0$

При этом область допустимых значений переменной $b$ такова, что $b > 0$ и $b \ne 9$, при которых знаменатели не обращаются в ноль.

Ответ: $0$