Номер 5, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 94.

Условие.

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{3}{2\sqrt{6}}$;

2) $\frac{10}{\sqrt{14}-2}$.

Решение.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{2\sqrt{6}} $, необходимо домножить и числитель, и знаменатель на $ \sqrt{6} $. Это действие равносильно умножению дроби на единицу ($ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1 $), поэтому значение дроби не изменится.

$ \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} $

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$ \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{10}{\sqrt{14}-2} $ находится разность. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $ \sqrt{14}+2 $. При этом в знаменателе мы воспользуемся формулой разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{10}{\sqrt{14}-2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{14}+2)}{(\sqrt{14}-2) \cdot (\sqrt{14}+2)} = \frac{10(\sqrt{14}+2)}{(\sqrt{14})^2 - 2^2} = \frac{10(\sqrt{14}+2)}{14 - 4} = \frac{10(\sqrt{14}+2)}{10} $

Теперь сократим дробь на 10:

$ \frac{10(\sqrt{14}+2)}{10} = \sqrt{14}+2 $

Ответ: $ \sqrt{14}+2 $