Номер 5, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 93.

Условие.

5. Постройте график функции $y = |2x - 4| + x$.

Решение.

Для построения графика функции $y = |2x - 4| + x$ необходимо раскрыть модуль. Для этого рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Найдём точку, в которой подмодульное выражение $2x - 4$ меняет знак:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Эта точка разбивает числовую прямую на два промежутка: $x \ge 2$ и $x < 2$.

1. При $x \ge 2$

На этом промежутке выражение $2x - 4$ неотрицательно, следовательно, $|2x - 4| = 2x - 4$.

Функция принимает вид:

$y = (2x - 4) + x = 3x - 4$

Это линейная функция, её график — часть прямой (луч). Для построения найдём координаты двух точек на этом луче:

• Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 4 = 5$. Получаем точку $(3; 5)$.

2. При $x < 2$

На этом промежутке выражение $2x - 4$ отрицательно, следовательно, $|2x - 4| = -(2x - 4) = -2x + 4$.

Функция принимает вид:

$y = (-2x + 4) + x = -x + 4$

Это также линейная функция, её график — луч. Найдём координаты двух точек на этом луче:

• Если $x = 2$ (граничная точка), то $y = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
• Если $x = 0$, то $y = -0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.

Таким образом, график функции $y = |2x - 4| + x$ состоит из двух лучей, которые соединяются в точке $(2; 2)$. Первый луч — это часть прямой $y = 3x - 4$ для $x \ge 2$, второй — часть прямой $y = -x + 4$ для $x < 2$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точку $(2; 2)$, а затем из нее провести два луча: один через точку $(3; 5)$, а другой — через точку $(0; 4)$.

Ответ: График функции $y = |2x - 4| + x$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, исходящих из точки $(2; 2)$. При $x \ge 2$ график совпадает с лучом прямой $y = 3x - 4$, а при $x < 2$ — с лучом прямой $y = -x + 4$.