Номер 4, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 93.

Условие.

4. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 64| > 0;$

2) $|4x - 12| \le 8;$

3) $|7x - 5| \ge 3x + 1.$

Решение.

1) $|x^2 - 64| > 0$

Модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то есть $|A| \ge 0$ для любого $A$.

Данное неравенство $|x^2 - 64| > 0$ будет выполняться всегда, кроме случая, когда выражение под модулем равно нулю, так как модуль нуля равен нулю ($|0|=0$), а неравенство $0 > 0$ — неверно.

Найдем значения $x$, при которых подмодульное выражение обращается в ноль:

$x^2 - 64 = 0$

$x^2 = 64$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -8$ и $x = 8$.

Запишем решение в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-8; 8) \cup (8; +\infty)$.

2) $|4x - 12| \le 8$

Неравенство вида $|A| \le B$ (где $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$-8 \le 4x - 12 \le 8$

Прибавим 12 ко всем частям двойного неравенства, чтобы избавиться от $-12$ в средней части:

$-8 + 12 \le 4x - 12 + 12 \le 8 + 12$

$4 \le 4x \le 20$

Разделим все части неравенства на 4 (знаки неравенства не меняются, так как $4 > 0$):

$\frac{4}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{20}{4}$

$1 \le x \le 5$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [1; 5]$.

3) $|7x - 5| \ge 3x + 1$

Неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} A \ge B \\ A \le -B \end{gathered} \right.$

Применив это правило, получаем совокупность:

$\left[ \begin{gathered} 7x - 5 \ge 3x + 1 \\ 7x - 5 \le -(3x + 1) \end{gathered} \right.$

Решим каждое неравенство из совокупности по отдельности.

Первое неравенство:

$7x - 5 \ge 3x + 1$

$7x - 3x \ge 1 + 5$

$4x \ge 6$

$x \ge \frac{6}{4}$

$x \ge \frac{3}{2}$

Второе неравенство:

$7x - 5 \le -(3x + 1)$

$7x - 5 \le -3x - 1$

$7x + 3x \le 5 - 1$

$10x \le 4$

$x \le \frac{4}{10}$

$x \le \frac{2}{5}$

Решением исходного неравенства является объединение решений двух неравенств совокупности.

Получаем: $x \le \frac{2}{5}$ или $x \ge \frac{3}{2}$.

Запишем решение в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{5}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.