Номер 8, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 1. Контрольные работы - номер 8, страница 92.
№8 (с. 92)
Условие. №8 (с. 92)
скриншот условия

8. Чему может быть равным $\text{НОД} (a; b)$, если $a = 10n + 5$, $b = 15n + 9$?
Решение. №8 (с. 92)
Для нахождения всех возможных значений наибольшего общего делителя (НОД) чисел $a = 10n + 5$ и $b = 15n + 9$, воспользуемся свойством НОД. Если некоторое число является общим делителем $a$ и $b$, то оно также является делителем любой их линейной комбинации вида $ka + mb$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. Тогда $d$ должно делить числа $a$ и $b$. Подберем такую линейную комбинацию, чтобы исключить из нее переменную $n$. Для этого умножим $a$ на 3, а $b$ на 2:
$3a = 3(10n + 5) = 30n + 15$
$2b = 2(15n + 9) = 30n + 18$
Теперь рассмотрим разность этих двух выражений:
$2b - 3a = (30n + 18) - (30n + 15) = 3$
Поскольку $d$ делит $a$ и $b$, оно должно делить и их линейную комбинацию $2b - 3a$. Это означает, что $d$ является делителем числа 3. Натуральными делителями числа 3 являются 1 и 3. Следовательно, $\text{НОД}(a, b)$ может быть равен только 1 или 3.
Чтобы убедиться, что оба эти значения возможны, приведем примеры для разных целых $n$.
1. Проверим, может ли НОД быть равен 3. Для этого подберем такое $n$, чтобы и $a$, и $b$ делились на 3. Рассмотрим $b = 15n + 9 = 3(5n+3)$. Это число всегда делится на 3 при любом целом $n$. Рассмотрим $a = 10n + 5$. Чтобы $a$ делилось на 3, необходимо, чтобы $10n+5 \equiv 0 \pmod{3}$. Это равносильно $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$, или $n \equiv 1 \pmod{3}$. Возьмем $n=1$.$a = 10(1) + 5 = 15$$b = 15(1) + 9 = 24$$\text{НОД}(15, 24) = 3$. Значение 3 достигается.
2. Проверим, может ли НОД быть равен 1. Для этого нужно, чтобы $a$ не делилось на 3 (поскольку $b$ всегда делится на 3). Возьмем любое $n$, не дающее остаток 1 при делении на 3, например, $n=2$.$a = 10(2) + 5 = 25$$b = 15(2) + 9 = 39$$\text{НОД}(25, 39) = 1$, так как 25 делится только на 1 и 5, а 39 на 5 не делится. Значение 1 также достигается.
Таким образом, возможными значениями для НОД(a, b) являются 1 и 3.
Ответ: 1 или 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 92 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 92), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.