Номер 8, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 8, страница 92.

Условие.

8. Чему может быть равным $\text{НОД} (a; b)$, если $a = 10n + 5$, $b = 15n + 9$?

Решение.

Для нахождения всех возможных значений наибольшего общего делителя (НОД) чисел $a = 10n + 5$ и $b = 15n + 9$, воспользуемся свойством НОД. Если некоторое число является общим делителем $a$ и $b$, то оно также является делителем любой их линейной комбинации вида $ka + mb$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. Тогда $d$ должно делить числа $a$ и $b$. Подберем такую линейную комбинацию, чтобы исключить из нее переменную $n$. Для этого умножим $a$ на 3, а $b$ на 2:

$3a = 3(10n + 5) = 30n + 15$

$2b = 2(15n + 9) = 30n + 18$

Теперь рассмотрим разность этих двух выражений:

$2b - 3a = (30n + 18) - (30n + 15) = 3$

Поскольку $d$ делит $a$ и $b$, оно должно делить и их линейную комбинацию $2b - 3a$. Это означает, что $d$ является делителем числа 3. Натуральными делителями числа 3 являются 1 и 3. Следовательно, $\text{НОД}(a, b)$ может быть равен только 1 или 3.

Чтобы убедиться, что оба эти значения возможны, приведем примеры для разных целых $n$.

1. Проверим, может ли НОД быть равен 3. Для этого подберем такое $n$, чтобы и $a$, и $b$ делились на 3. Рассмотрим $b = 15n + 9 = 3(5n+3)$. Это число всегда делится на 3 при любом целом $n$. Рассмотрим $a = 10n + 5$. Чтобы $a$ делилось на 3, необходимо, чтобы $10n+5 \equiv 0 \pmod{3}$. Это равносильно $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$, или $n \equiv 1 \pmod{3}$. Возьмем $n=1$.$a = 10(1) + 5 = 15$$b = 15(1) + 9 = 24$$\text{НОД}(15, 24) = 3$. Значение 3 достигается.

2. Проверим, может ли НОД быть равен 1. Для этого нужно, чтобы $a$ не делилось на 3 (поскольку $b$ всегда делится на 3). Возьмем любое $n$, не дающее остаток 1 при делении на 3, например, $n=2$.$a = 10(2) + 5 = 25$$b = 15(2) + 9 = 39$$\text{НОД}(25, 39) = 1$, так как 25 делится только на 1 и 5, а 39 на 5 не делится. Значение 1 также достигается.

Таким образом, возможными значениями для НОД(a, b) являются 1 и 3.

Ответ: 1 или 3.