Номер 3, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 92.

Условие.

3. Вместо звёздочки подставьте такую цифру, чтобы число 83 1*4 делилось нацело на 36.

Решение.

Чтобы число 831*4 делилось нацело на 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 являются взаимно простыми.

Сначала применим признак делимости на 4. Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. В нашем случае это число *4. Переберём возможные цифры вместо звёздочки:число *4 будет делиться на 4, если * равно 0 (04), 2 (24), 4 (44), 6 (64) или 8 (84).

Теперь применим признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Найдём сумму цифр числа 831*4: $8 + 3 + 1 + * + 4 = 16 + *$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Подставим в выражение $16 + *$ цифры, которые мы отобрали на первом шаге (0, 2, 4, 6, 8), и проверим, будет ли сумма делиться на 9:
Если * = 0, то сумма $16 + 0 = 16$. 16 не делится на 9.
Если * = 2, то сумма $16 + 2 = 18$. 18 делится на 9.
Если * = 4, то сумма $16 + 4 = 20$. 20 не делится на 9.
Если * = 6, то сумма $16 + 6 = 22$. 22 не делится на 9.
Если * = 8, то сумма $16 + 8 = 24$. 24 не делится на 9.

Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это 2. Таким образом, искомое число — 83124.
Проверка: $83124 \div 36 = 2309$.

Ответ: 2