Номер 6, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 91.

Условие.

6. Упростите выражение

$\frac{a^{-1}+6}{a^{-2}-10a^{-1}+25} : \frac{a^{-2}-36}{5a^{-1}-25} - \frac{5}{a^{-1}-6}$

Решение.

Для упрощения выражения $ \frac{a^{-1} + 6}{a^{-2} - 10a^{-1} + 25} : \frac{a^{-2} - 36}{5a^{-1} - 25} - \frac{5}{a^{-1} - 6} $ выполним действия по порядку.

1. Для удобства вычислений введем замену переменной. Пусть $x = a^{-1}$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ \frac{x + 6}{x^2 - 10x + 25} : \frac{x^2 - 36}{5x - 25} - \frac{5}{x - 6} $

2. Первым действием выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{x + 6}{x^2 - 10x + 25} \cdot \frac{5x - 25}{x^2 - 36} $

3. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ (формула квадрата разности).

$5x - 25 = 5(x - 5)$ (вынесение общего множителя).

$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные многочлены в выражение:

$ \frac{x + 6}{(x - 5)^2} \cdot \frac{5(x - 5)}{(x - 6)(x + 6)} $

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x + 6}}{(x - 5)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{5\cancel{(x - 5)}}{(x - 6)\cancel{(x + 6)}} = \frac{5}{(x - 5)(x - 6)} $

5. Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{5}{(x - 5)(x - 6)} - \frac{5}{x - 6} $

6. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 5)(x - 6)$. Для этого вторую дробь домножим на $(x - 5)$:

$ \frac{5}{(x - 5)(x - 6)} - \frac{5(x - 5)}{(x - 6)(x - 5)} = \frac{5 - 5(x - 5)}{(x - 5)(x - 6)} $

7. Упростим числитель полученной дроби:

$ 5 - 5(x - 5) = 5 - 5x + 25 = 30 - 5x = -5(x - 6) $

Дробь примет вид:

$ \frac{-5(x - 6)}{(x - 5)(x - 6)} $

8. Сократим общий множитель $(x - 6)$:

$ \frac{-5\cancel{(x - 6)}}{(x - 5)\cancel{(x - 6)}} = \frac{-5}{x - 5} $

9. Выполним обратную замену $x = a^{-1}$:

$ \frac{-5}{a^{-1} - 5} $

10. Преобразуем полученное выражение. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$ \frac{-5}{\frac{1}{a} - 5} $

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $a$:

$ \frac{-5 \cdot a}{(\frac{1}{a} - 5) \cdot a} = \frac{-5a}{\frac{1}{a} \cdot a - 5 \cdot a} = \frac{-5a}{1 - 5a} $

Чтобы избавиться от знака "минус" в числителе, умножим числитель и знаменатель на -1:

$ \frac{-5a \cdot (-1)}{(1 - 5a) \cdot (-1)} = \frac{5a}{5a - 1} $

Ответ: $ \frac{5a}{5a - 1} $.