Номер 7, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция y = k/x и её график. Вариант 1. Контрольные работы - номер 7, страница 91.

Условие.

7. Решите графически уравнение $ \frac{8}{x} = x - 7 $.

Решение.

Для графического решения уравнения $\frac{8}{x} = x - 7$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{8}{x}$ и $y = x - 7$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

Рассмотрим функцию $y = \frac{8}{x}$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения графика:
если $x = 1$, то $y = 8$;
если $x = 2$, то $y = 4$;
если $x = 4$, то $y = 2$;
если $x = 8$, то $y = 1$;
если $x = -1$, то $y = -8$;
если $x = -2$, то $y = -4$;
если $x = -4$, то $y = -2$;
если $x = -8$, то $y = -1$.

Рассмотрим функцию $y = x - 7$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:
если $x = 0$, то $y = -7$ (точка $(0, -7)$);
если $x = 7$, то $y = 0$ (точка $(7, 0)$).

Построим графики обеих функций в одной системе координат. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек пересечения: $(-1, -8)$ и $(8, 1)$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения: $x = -1$ и $x = 8$.

Выполним проверку найденных корней:
При подстановке $x = -1$: $\frac{8}{-1} = -1 - 7$, что дает верное равенство $-8 = -8$.
При подстановке $x = 8$: $\frac{8}{8} = 8 - 7$, что дает верное равенство $1 = 1$.

Ответ: $-1; 8$.