Номер 6, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 1. Контрольные работы - номер 6, страница 90.

Условие.

6. Известно, что $9x^2 + \frac{25}{x^2} = 226$. Найдите значение выражения $3x - \frac{5}{x}$.

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $3x - \frac{5}{x}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Возведем искомое выражение в квадрат. Пусть $a = 3x$ и $b = \frac{5}{x}$.
$(3x - \frac{5}{x})^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{5}{x}) + (\frac{5}{x})^2$
Упростим полученное выражение:
$9x^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{x}{x} + \frac{25}{x^2} = 9x^2 - 30 + \frac{25}{x^2}$
Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать данное в условии равенство:
$(3x - \frac{5}{x})^2 = (9x^2 + \frac{25}{x^2}) - 30$
По условию задачи, $9x^2 + \frac{25}{x^2} = 226$. Подставим это значение в наше равенство:
$(3x - \frac{5}{x})^2 = 226 - 30$
$(3x - \frac{5}{x})^2 = 196$
Чтобы найти значение выражения $3x - \frac{5}{x}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует учесть, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.
$3x - \frac{5}{x} = \pm \sqrt{196}$
$3x - \frac{5}{x} = \pm 14$
Таким образом, выражение может принимать два значения: 14 или -14.
Ответ: 14 или -14.