Номер 7, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 7, страница 89.

Условие.

7. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{7n+8}{n} $;

2) $ \frac{n+3}{n-4} $.

Решение.

1) Для того чтобы значение выражения $ \frac{7n+8}{n} $ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $7n+8$ делился на знаменатель $n$ без остатка. Преобразуем данное выражение, разделив его почленно:

$ \frac{7n+8}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{8}{n} = 7 + \frac{8}{n} $

Поскольку число 7 является целым, то и вся сумма $ 7 + \frac{8}{n} $ будет целым числом только в том случае, если слагаемое $ \frac{8}{n} $ также является целым числом. Это условие выполняется, когда знаменатель $n$ является делителем числителя 8.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, значит, нам нужно найти все натуральные (положительные) делители числа 8. Такими делителями являются числа: 1, 2, 4, 8.

Ответ: 1, 2, 4, 8.

2) Для того чтобы значение выражения $ \frac{n+3}{n-4} $ было целым числом, преобразуем его, выделив целую часть. Для этого представим числитель $n+3$ через выражение в знаменателе $n-4$:

$ n+3 = (n-4) + 4 + 3 = (n-4) + 7 $

Теперь подставим это в исходную дробь:

$ \frac{n+3}{n-4} = \frac{(n-4)+7}{n-4} = \frac{n-4}{n-4} + \frac{7}{n-4} = 1 + \frac{7}{n-4} $

Значение этого выражения будет целым, если дробь $ \frac{7}{n-4} $ будет целым числом (так как 1 — целое число). Это возможно, если знаменатель $n-4$ является делителем числителя 7. Также необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $n \neq 4$.

Целыми делителями числа 7 являются: 1, -1, 7, -7. Рассмотрим каждый случай:

1. Если $n-4 = 1$, то $n = 5$. Число 5 — натуральное.

2. Если $n-4 = -1$, то $n = 3$. Число 3 — натуральное.

3. Если $n-4 = 7$, то $n = 11$. Число 11 — натуральное.

4. Если $n-4 = -7$, то $n = -3$. Число -3 не является натуральным, поэтому это значение нам не подходит.

Таким образом, мы нашли все натуральные значения $n$, удовлетворяющие условию.

Ответ: 3, 5, 11.