Номер 4, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 89.

Условие.

4. Упростите выражение $\frac{a+6}{4a+8} + \frac{a+2}{8-4a} + \frac{2a}{a^2-4}$.

Решение.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.

1. Знаменатель первой дроби: $4a + 8 = 4(a + 2)$.

2. Знаменатель второй дроби: $8 - 4a = -4(a - 2)$.

3. Знаменатель третьей дроби: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$ (используя формулу разности квадратов).

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными на множители знаменателями:

$\frac{a+6}{4(a+2)} + \frac{a+2}{-4(a-2)} + \frac{2a}{(a-2)(a+2)}$

Вынесем знак "минус" из знаменателя второй дроби перед самой дробью, чтобы сделать знаменатели более схожими:

$\frac{a+6}{4(a+2)} - \frac{a+2}{4(a-2)} + \frac{2a}{(a-2)(a+2)}$

Общим знаменателем для этих дробей будет выражение $4(a-2)(a+2)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, второй дроби — на $(a+2)$, и третьей дроби — на 4.

$\frac{(a+6)(a-2)}{4(a+2)(a-2)} - \frac{(a+2)(a+2)}{4(a-2)(a+2)} + \frac{2a \cdot 4}{4(a-2)(a+2)}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, запишем их под одной дробной чертой и выполним действия с числителями:

$\frac{(a+6)(a-2) - (a+2)^2 + 8a}{4(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$(a+6)(a-2) = a^2 - 2a + 6a - 12 = a^2 + 4a - 12$

$(a+2)^2 = a^2 + 4a + 4$

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель дроби:

$\frac{(a^2 + 4a - 12) - (a^2 + 4a + 4) + 8a}{4(a-2)(a+2)}$

Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 + 4a - 12 - a^2 - 4a - 4 + 8a}{4(a-2)(a+2)} = \frac{(a^2 - a^2) + (4a - 4a + 8a) + (-12 - 4)}{4(a-2)(a+2)} = \frac{8a - 16}{4(a-2)(a+2)}$

Вынесем общий множитель 8 в числителе:

$\frac{8(a-2)}{4(a-2)(a+2)}$

Сократим дробь на общие множители 4 и $(a-2)$:

$\frac{2 \cdot 4 \cdot (a-2)}{4 \cdot (a-2) \cdot (a+2)} = \frac{2}{a+2}$

Ответ: $\frac{2}{a+2}$