Номер 5, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 89.

Условие.

5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции (ОДЗ).

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Таким образом, мы имеем ограничение:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Область определения функции: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростить выражение функции.

Числитель дроби $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{(x - 2)^2}{x - 2}$

Поскольку мы знаем из ОДЗ, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = x - 2$

3. Проанализировать полученную функцию.

Мы получили, что на всей области определения исходная функция совпадает с линейной функцией $y = x - 2$. Это означает, что ее графиком является прямая линия, но с одной "выколотой" (удаленной) точкой. Эта точка соответствует значению $x=2$, которое не входит в область определения.

4. Найти координаты выколотой точки.

Чтобы найти y-координату выколотой точки, подставим $x=2$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 2 - 2 = 0$

Таким образом, выколотая точка имеет координаты $(2, 0)$.

5. Построить график.

Графиком является прямая $y = x - 2$. Для ее построения достаточно двух точек. Возьмем любые два значения $x$ (кроме $x=2$):

• Если $x=0$, то $y = 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• Если $x=4$, то $y = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(4, 2)$.

Проводим прямую через эти две точки. Затем на этой прямой отмечаем выколотую точку $(2, 0)$ в виде пустого кружочка.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$ является прямая линия, заданная уравнением $y = x - 2$, с выколотой точкой в точке с координатами $(2, 0)$.