Номер 3, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 90.

Условие.

3. Упростите выражение: $(\frac{x^{-5}}{4y^6})^4 : (-\frac{x^{-6}}{8y^5})^3$

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним последовательно все необходимые алгебраические преобразования.
Исходное выражение: $ \left(\frac{x^{-5}}{4y^6}\right)^4 : \left(-\frac{x^{-6}}{8y^5}\right)^3 $
1. Возведем в степень первую дробь, используя свойство возведения дроби в степень $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ и свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $:
$ \left(\frac{x^{-5}}{4y^6}\right)^4 = \frac{(x^{-5})^4}{(4y^6)^4} = \frac{x^{-5 \cdot 4}}{4^4 \cdot y^{6 \cdot 4}} = \frac{x^{-20}}{256y^{24}} $
2. Аналогично возведем в степень вторую дробь. Учтем, что отрицательное число в нечетной степени (3) останется отрицательным:
$ \left(-\frac{x^{-6}}{8y^5}\right)^3 = (-1)^3 \cdot \frac{(x^{-6})^3}{(8y^5)^3} = -1 \cdot \frac{x^{-6 \cdot 3}}{8^3 \cdot y^{5 \cdot 3}} = -\frac{x^{-18}}{512y^{15}} $
3. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{x^{-20}}{256y^{24}} : \left(-\frac{x^{-18}}{512y^{15}}\right) = \frac{x^{-20}}{256y^{24}} \cdot \left(-\frac{512y^{15}}{x^{-18}}\right) $
4. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и выполним упрощение:
$ -\frac{512}{256} \cdot \frac{x^{-20}}{x^{-18}} \cdot \frac{y^{15}}{y^{24}} $
Сократим числовую дробь: $ \frac{512}{256} = 2 $.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{x^{-20}}{x^{-18}} = x^{-20 - (-18)} = x^{-20+18} = x^{-2} $
$ \frac{y^{15}}{y^{24}} = y^{15-24} = y^{-9} $
5. Соберем все части вместе:
$ -2 \cdot x^{-2} \cdot y^{-9} $
6. Представим результат в виде дроби без отрицательных степеней, используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ -2x^{-2}y^{-9} = -\frac{2}{x^2y^9} $

Ответ: $ -\frac{2}{x^2y^9} $